几何画板解析2017年广东省广州市倒二(几何背景)
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(2017•广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△COD关于CD的对称图形为△CED.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)连接AE,若AB=6cm,BC=根号5cm.
①求sin∠EAD的值;
②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连接OP,一动点Q从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动,当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.
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【图文解析】
(1)简析:由矩形的性质,可得:
由轴对称图形的性质,可得:
所以四边形CODE是菱形.
(2)①图中有很多相等的线段和平行的线段及直角,可充分利用平行线的性质(含平行线分线段成比例定理)进行转化,同时求一个角的三角函数的值,必须构造含这个角的直角三角形.方法多种,现仅举两种方法解析。
法一:设AE交CD于K.如下图示:
由DE∥AC可得:DK:KC=DE:AC=1:2,所以DK=1/3DC=1/3AB=2.在直角三角形ADK中,如下图示,进一步,得到:
法二:如下图示,
再根据勾股定理求出AE的长,…….
②根据题意,所用的总时间为:
“当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时”就是OP+2/3PA最短。如下图示:
求“OP+2/3PA最短”经常转化为“两线段的和最短”或者建立函数转化为函数的“最值“问题(本题也可,但涉及到“两点间距离公式”,这里略去解析,有兴趣的朋友可以试试——当然应先建立坐标系),然后利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”.注意到其中的“2/3”,而恰好上述①结论“sin∠DAE=2/3”(当然若没有这个结论,可以建立一直角三角形,使其中一角的某个的三角函数值等于2/3,显然难度加大,但思路一样),因此,可以这样添加辅助线:作PH⊥AD于H.如下图示:
问题就转化为求OP+PH的最小值.
根据“垂线段最短”,显然当O、P、H三点共线时,OP+PH的值最小(为OH的长),如下图示,此时OH是△ACD的中位线,
所以OH=1/2CD=3.AH=1/2AD=根号5的一半,PH=1/2DK=1,根据勾股定理,可得:
所以当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,AP的长为3/2,点Q走完全程所需的时间为3s.
【反思】如何将“非常规形式”的问题转化为“基本模式的图形”,是解决本题的关键,注意体会其中的解题思路,做到:会一道通一类。
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