几何画板解析2017年宁厦倒一(几何背景)
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(2017.宁夏倒一)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点 P分别作 PM⊥AB,PN⊥AC,M、N分别为垂足.
(1)求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;
(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.
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【图文解析】
(1)简析:(1)连接AP,过C作CD⊥AB于D,根据等边三角形的性质得到AB=AC,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(2)设BP=x,则CP=2﹣x,由△ABC是等边三角形,得到∠B=∠C=60°,解直角三角形得到BM=1/2x,PM=根号3/2x,CN=1/2(2﹣x),PN=(2﹣x),根据二次函数的性质即可得到结论.
第(1)题分析图:
第(2)题分析图:
答案如下:(1)连接AP,过C作CD⊥AB于D,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴0.5AB×CD=0.5AB×PM+0.5AC×PN,
∴PM+PN=CD,
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;
【反思】遇到垂直和三角形边上的高的关系,首先考虑到的是用等面积法寻找等量关系,列出方程即可得到结论。
【变式拓展】
(1)点P在CB的延长线上时,PM,PN与高的关系是PN-PM=h
(2)点P在BC的延长线上时,PM,PN与高的关系是PM-PM=PH
(3)点P在三角形外部,PM,PN与高的关系是PM+PM-PI=h.
(4)点P在三角形内部,PM,PN与高的关系是PM+PM+PI=h.
【反思】本题考查了等边三角形的性质,三角形面积的计算(等积法),二次函数求最值,正确的作出辅助线和设元是解题的关键.
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