几何画板解析2017年宁厦倒一（几何背景）

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(2017.宁夏倒一）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足．

（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

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【图文解析】

（1）简析：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

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（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=1/2x，PM=根号3/2x，CN=1/2（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．

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第（1）题分析图：

第（2）题分析图：

答案如下：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，

∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，

∴0.5AB×CD=0.5AB×PM+0.5AC×PN，

∴PM+PN=CD，

即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

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【反思】遇到垂直和三角形边上的高的关系，首先考虑到的是用等面积法寻找等量关系，列出方程即可得到结论。

【变式拓展】  

(1)点Ｐ在CB的延长线上时，PM,PN与高的关系是PN-PM=h

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 (2)点Ｐ在BC的延长线上时，PM,PN与高的关系是PM-PM=PH

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（3）点Ｐ在三角形外部，PM，PN与高的关系是PM+PM－PI=h.

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（4）点Ｐ在三角形内部,PM,PN与高的关系是PM+PM+PI=h.

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【反思】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算(等积法），二次函数求最值，正确的作出辅助线和设元是解题的关键．

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