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几何画板解析2017年宁厦倒一(几何背景)

2017-09-19 福建福清 李燕华 初中数学延伸课堂

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(2017.宁夏倒一)在边长为2的等边三角形ABC中,PBC边上任意一点,过点 P分别作 PMABPNACMN分别为垂足.

1)求证:不论点PBC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;

2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.



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【图文解析】

1)简析:(1)连接AP,过CCDABD,根据等边三角形的性质得到AB=AC,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;


2)设BP=x,则CP=2x,由ABC是等边三角形,得到B=∠C=60°,解直角三角形得到BM=1/2xPM=根号3/2xCN=1/22x),PN=2x),根据二次函数的性质即可得到结论.


第(1)题分析图:

第(2)题分析图:

答案如下:1)连接AP,过CCDABD

∵△ABC是等边三角形,AB=AC

SABC=SABP+SACP

0.5AB×CD=0.5AB×PM+0.5AC×PN

PM+PN=CD

即不论点PBC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;




反思遇到垂直和三角形边上的高的关系,首先考虑到的是用等面积法寻找等量关系,列出方程即可得到结论。

【变式拓展】  

(1)点P在CB的延长线上时,PM,PN与高的关系是PN-PM=h


 (2)点P在BC的延长线上时,PM,PN与高的关系是PM-PM=PH


3)点P在三角形外部,PMPN与高的关系是PM+PMPI=h.


4)点P在三角形内部,PM,PN与高的关系是PM+PM+PI=h.


【反思】本题考查了等边三角形的性质,三角形面积的计算(等积法),二次函数求最值,正确的作出辅助线和设元是解题的关键.



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