几何画板解析2017年内蒙古包头倒二（几何背景）

Original 2017-09-19 福建宁德　金良快 初中数学延伸课堂

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（2017•内蒙古包头）25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．

（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；

（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；

（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．

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【图文解析】

解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∵α=60°，∴∠DCD′=60°.∴△CDD′是等边三角形.∴DD′=CD=3.

【反思】旋转60°，连接对应顶点与旋转中心，会得到等边三角形；旋转90°，连接对应顶点与旋转中心，会得到等腰直角三角形。

【反思】对图形的确定性要有深刻认识，由于△A′CD是固定的，所以∠A′CD′的度数也就固定了，∠A′CD′的三角函数值可求，所以利用三角形相似可求相应线段长度。

(3)由于AE=EF，即E为AF中点，通过证明CE=EF，推出△ACF为直角三角形，再求出AF长，利用等积法求AC•CF.

【反思】线段乘积问题，经常涉及比例式与等积式的转化，或者利用三角形面积转化。

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