几何画板解析2017年山东枣庄倒二（几何背景）

Original 2017-09-20 福建福州　严伟胜 初中数学延伸课堂

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（2017·枣庄）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

　　（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

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图文解析：

（1）简析：如图由已知正方形条件易证△APE≌△CFE，从而得EA=EC.

（2）如图，由点P是AB中点得AP=PB=PE，易证得∠CAE=∠CAB+∠PAE=45°+45°=90°，从而可得△ACE是直接三角形。

（3）如下图，取AB与CE交点M，由于PE平分∠AEC，EP⊥AB，

所以PM=AP=AB-PB=a-b， MB=AB-AM=AB-2PM =a-2（a-b）=2b-a.

如下图，由上面证得a与b的关系，易得EB=BC，则∠EBF=2∠BEC，由已知角平分线与内错角关系易证∠AEC=2∠BEC，所以∠AEC=∠EBF=45°.

反思：平行线等分线段定理结合方程思想方法是解决本题的关键.

拓展：（4）设AB=a，P点在线段AB上运动，求：线段BE的最大值。

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