几何画板解析2017年湖北鄂州倒二（函数相关）

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(2017•湖北鄂州)已知,抛物线y=a x²+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=1/2.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;

(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S_△ACP=1/2S_△ACD ,求点P的坐标;

(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.

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  (1)  简析:根据对称轴x=1和点A(3,0),求出点B坐标(-1,0).

将A、B两点坐标代入抛物线的解析式y=a x²+bx+3,解得a=-1,b=2.所以抛物线的解析式为y= -x²+2x+3;当x=1时,求出D坐标为(1,4).

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(2)  简析:根据A、C、D三点的坐标,计算△ACD三边的长,由勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形.由∠ACD=90°,得出AD为△ACD外接圆的直径;同理可证明△AED为直角三角形,得出AD⊥DE,即可得出结论.

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(3)  简析:由A(3,0)、C(0,3),求出直线AC的解析式y=-x+3.再求出线段AD的中点N的坐标(2,2),过点N作直线平行于直线AC, 求出直线的解析式为y=-x+4.

【反思】使S_△ACP=1/2S△ACD，两三角形同底为AC, 则高之比为1/2.构造过AD中点N，且平行于直线AC的平行线，即NH / DC =1/2.所以点P在直线和抛物线交点位置;由题干点P在直线AC上方的抛物线上,即点P横坐标的取值范围0<x<3,求出直线与抛物线交点横坐标后,需验证.

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 (4) 简析:以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,分三种情况:

①当∠BMC=90°时，△CMB∽△ACD，CM/AC=BM/DC,解得CM=3，M恰好为原点,∴M(0,0);

②当∠BCM=90°时，△MCB∽△ACD，BM/AD=BC/CD,解得CM=10, M在x轴正半轴上,∴M(9,0);

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【反思】由相似三角形的性质和直角三角形的性质，需想到以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似有三种情况.

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