几何画板解析2017年吉林长春倒一（函数相关）

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(2017•吉林长春）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒4/3个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；

（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．

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【题干分析】先分析点P ，点Q运动的起点终点，速度方向可得：点P 在AB上运动的时间为2S,点P 在BC上运动的时间也为2S,而点Q在CA上运动的时间为6S．所以整个运动时间为4S.

(1)CQ=4/3t,AQ=8-4/3t.

(2)【图文解析】

简析：当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；需要分类讨论．

第一种情况：

当PQ平行BC时，

【动画展示】

【反思】注意第二问中分析和画出三个时间段重叠部分面积是最为关键，对面积计算过程要能灵活应用在三角函数知道各边的比．

②当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2

则有（3﹣3t）：（3﹣4/3t）=1：2，解得t=9/14s

当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，

∴（3t﹣3）：（3﹣4/3t）=1：3，

解得t=36/31s

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综上所述当t=9/14s或36/31s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

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【反思】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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