适合三个年级上学期的尖子生培优系列（1）
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解析：不难看出，本题依次间隔两个数的和是固定值，其中整数部分为1，分数部分为1/6，间隔每两数共可分2008/2＝1004组（整数部分的绝对值从0，1，2、…、2007共有2008个数）.
初三组：
试探讨关于x的方程（k－1）x2+kx+1=0的根的情况。（试题来源于网络）
解析：题目本身并没说明为何类方程，因此必须分两种情况讨论：
（1）当k－1＝0即k＝1时，此时原方程为x+1=0(一元一次方程)，显然只有一个根为x=－1；
（2）当k－1≠0即k≠1时，原方程为一元二次方程，必须根据“根的判别式△”的符号情况进行判断（如果能直接求出根，当然可以直接判断）.通过计算△＝k2－4k+4=(k－2)2≥0，所以此时原方程有两个实数根。
实际上，此时原方程可通过因式分解法进行求解：（x+1）[(k－1)x+1]=0.…….
变式拓展：
1.当k为何整数时，关于x的方程（k－1）x2+kx+1=0有两个整数根？
（提示：题目已经明确有两整数根，所以原方程必须是一元二次方程，由上述可得x1=－1，x2=1/(1－k).由于k为整数，且要求是两个整数根，所以1－k=1或－1，解得k=0或k=2.）
2.当k为何值时，抛物线y=（k－1）x2+kx+1与x轴两交点的距离为3？
（提示：由上述知，该抛物线与x轴两交点的横坐标分别为－1和1/(1－k).根据题意，可得方程为：｜1/(1－k)+1｜＝3，解得k=1/2或k=5/4.）
3.不论k为何值时，抛物线y=（k－1）x2+kx+1必经过一定点，求定点坐标。
（提示：
法一：不难得到上述的（－1，0）为所求的一个定点，与y轴交点坐标为（0，1）也是其中的另一个定点，必须代入验证！
法二：通过整理，可得：（x2+x）k=y+x2－1（整理成关于k的一元一次方程形式，根据“0乘以任何数都等于0”得到：x2+x＝0且y+x2－1＝0，……。——说明：第二种解法是通法，建议熟练掌握！）
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