查看原文
其他

几何画板解析2017年江苏扬州中考倒一(几何背景)

2017-09-27 永溙一中 张祖冬 初中数学延伸课堂


(点击“初中数学延伸课堂”关注)



(注:感谢一位朋友及时提出:上次发布的倒一实际上倒三(重复),录入严重错误,实在抱歉!)



2017•扬州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点PAB边上的一个动点,连接CP,过点PPC的垂线交AD于点E,以 PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EGPF相交于点O

1)若AP=1,则AE=

2求证:点O一定在APE的外接圆上;

当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;

3)在点P从点A到点B的运动过程中,APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.




【图文解析】

1)如下图示,

       不难证得∠1=∠3,由tan1tan3可得:AE/PAPB/BC,即AE/13/4,解得AE3/4.(当然也可通过两阴影部分的三角形相似去证也可,本质一样).



2考虑到“四点共圆”有的教材(如人教版)不作为定理使用,所以此法只做简单说明。本文用“圆的定义”进行解析,如下图示:


       根据“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边上一半”可以得到:MAMEMPMO,所以APOE四点在同个圆M上,所以点O一定在APE的外接圆上.

       用“四点共圆”法:不能得到EOF+DAB=180°,所以…….





       显然,应该是对角线AC的一半(可以由起点和终点对应的O点构成线段,得到答案),值为2×根号2.再次用动画进行确认。



3)本题表面上与上题类似,其实不然,原因是此题中我们所需的点受多种因素(PEBC的中点M均为“连动”),影响,不易找出相应的运动路径,但仍然是动中有“静”,“静”是MN(圆心到AB的距离——题中所要求的)的长与AE的长之间永远有“MN=0.5AE”这个关系。

       虽然无法直接用几何办法找到运动路径为何,但可以通过相似、勾股、三角形函数的定义等建立函数关系(或者建立坐标系,动点设定为参数).同时与之相关联的一个重要条件“直角”,为此:


(当然本题也可以建立坐标系,本质完全相同)

       其实,本题的M(APE的处心M的运动路径是一条抛物线。请看动态演示。


【反思】本题是典型的路径相关的试题,路径中的相关问题的两种常用解法(几何法,函数法)在本题都有体现,同时“直角”相关的常用辅助线,在中考中应用太常见了,务必熟练掌握。

变式推广:如果将本题中所含的“两正方形”类似改为“两等边三角形”呢?改为“其他正多边形”呢?如下图示:

朋友们,编一下试题,试试看!



扫描下面二维码,关注或分享本公众号:zzdyunke(初中数学延伸课堂). 添加关注后,进入公众号,输入数学“1”可进入《几何画板》使用实例视频教程(622分钟).本公众号对应的QQ群:178733124(课件制作学习交流群),530471110(魔方数学答疑群).





如果您想学习几何画板,请详细阅读上述文章末尾的说明.



(点赞和分享是一种美德,也是对作者的坚持给予鼓励!赞赏是一种认可,也是对作者的艰苦劳动给予肯定!可惜系统最低只能设置1元,无法设置1元以下甚至0.01元!但点赞和分享只需”举指之劳“!)




您可能也对以下帖子感兴趣

文章有问题?点此查看未经处理的缓存