几何画板解析2017年黑龙江省绥化中考倒一（函数相关）
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（2017•绥化）在平面直角坐标系中，直线y=﹣3/4x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣1/2x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣3/4 x +1交于点C（4，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．
（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．
【图文解析】
（1） 简析：将点C（4，﹣2）和B（0，1）代入抛物线的解析式y=﹣1/2x2+b x +c，可得关于b、c的方程组，解得b=－5/4，c=1.所以抛物线的解析式为y=-1/2x2+5/4 x +1；
(2) 利用直线解析式得出点A坐标（4/3，0）和点B坐标（0，1）
思路一：观察图形发现，当点E在x轴上时，与点A重合，m=OA=4/3，ME是圆M的直径，△DEM与△OAB相似。利用相似比例线段可以求出ME=16/9，DE=16/5，DM=64/45，从而得到△DEM的周长是64/15。
思路二：利用等角的三角函数值相等，建立比例线段方程求解。以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，∴∠EDM=90°。
此时点E与点A重合，∠MED=∠ABO=90°-∠OAB,所以∠MED和∠ABO的正弦函数值相等。
利用Rt△AOB中，∴sin∠ABO=OA:AB=4/5，
及Rt△MED中，sin∠MED=MD:ME=4/5
从而求出ME=16/9。同理可以求出DE=16/5，DM=64/45。从而得到△DEM的周长是64/15。
【反思】在解题中遇见直角三角形求线段问题，可以考虑利用直角三角形的相似，构建相似比得到比例线段的方程，或者根据三角函数关系也同样可以建立比例线段方程，得到所求线段的长。
（3） 根据顺时针旋转90°可知：
∵线段OB在y轴上，顺时针旋转90°后，O1B1⊥y轴，则O1A1⊥x轴，设点A1的横坐标为x，O1的横坐标是x，OB=1，则点B1的横坐标为x+1，且∵O1A1⊥x轴，∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，故可以分以下两种情况：
①当点O1，B1同时落在抛物线上时，点O1，B1的纵坐标相等，
将x和x+1分别代入抛物线解析式，由B1和O1纵坐标相等，建立方程，解出x=3/4，进而得到点A1（3/4，31/96）
②当点A1，B1同时落在抛物线上时，
根据图象观察发现，点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大4/3，建立方程：
-1/2x2+5/4 x +1+4/3=-1/2(x +1)2+5/4(x +1) +1
解得x=-7/12
∴x+1=5/12
此时，我们将x＝5/12代入抛物线解析式，得出B1 点的纵坐标，再减去4/3，得到A1点的纵坐标.
进而我们得到A1（﹣7/12，29/288）．
【反思】注意体会第3小题中的“三角形顺时针旋转”，其中“旋转90°” 对应点坐标的位置发生的变化，抓住特殊位置点坐标的，根据题意将满足题意的点坐标代入解析式建立方程是解决这类问题的关键所在。要注意动态问题的多解。
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