适合三个年级上学期的尖子生培优系列（7）
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解析：可参考系列（4）（可直接点击打开）的相关绝对值的概念和性质的解析，首先要先判断绝对值符号内的式子的符号，再利用“绝对值的性质”去掉绝对值符号。
由数轴上的点的位置所表示的数（如下图示）知：b<a<0<c，且|a|<|c|<|b|，所以a+b<0，c－a>0，b－c<0.
初二组：
如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，AB=5，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
解析:在等腰三角形中，经常通过添加平行线进行转化“角”和构造“全等三角形”，再利用“等角对等边”可解。
（1）法一：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，不难证得：PF=CG.由于点P和点Q同时出发，且速度相同，所以BP=CQ.
可得到△PFD≌△QCD，所以CD=FD=1/2CF.
下面证明CF=1/2BC(即F是BC的中点).
证F是BC的中点，有很多种方法，但基于现所学的知识，只能用全等或等腰三角形的性质来证，为此可以连接AF，可以证得∠AFB=90°，即AF⊥BC，如下图示：
又AB=AC，根据“三线合一”得到：CF=1/2BC=3，
所以CD=1/2CF=3/2.
法二：也可添加如下图示的辅助线：
（2）分两种情况讨论，
情况一：当点P在线段AB上时，
法一：过P作PF∥AC交BC于F，如下图示，
由(1)知：DF=CD=1/2CF，PB=PF，又因PE⊥BC，所以EF=BE=1/2BF.
因此DE=EF+DF=1/2BF+1/2CF
=1/2(BF+CF)=1/2BC=3.
即存在长度保持不变的线段是DE.
法一：，由(1)知中的△PFD≌△ACD可证得：DP=DQ。过Q作QN⊥BC交BC的延长线于N，如下图示.
所以EN=CE+CN= CE+BE=BC，因此DE=1/2EN=1/2BC=3.
情况二：当点P在线段BA的延长线上时，如下图示：
变式（拓展）：
1.其他条件不变，点P在射线AB上呢？（请画出正确的图形，解决上述问题），
2.如图，△ABC中，AB＝AC，P是直线AB上的动点，D是直线BC上的动点，连接PD并延长交直线AC于Q点，若PD＝DQ，则BP与CQ相等吗？为什么？
初三组：
已知a≥2，m2－2am+2=0，n2－2an+2=0，求(m－1)2+(n－1)2的最小值.（试题来源于网络）
解析：显然必须找出m、n与a之间的关系，然后将所求的式子化为关于a的二次三项式，再通过配方求最小值.由已知条件“m2－2am+2=0，n2－2an+2=0”等式的结构特征，可以发现：m、n可以看作是方程x2－2ax+2=0的两个实数根，因此有m+n=2a，mn＝2(根据韦达定理.人教版属于选学内容，可通过配方法或公式法求出两根(不妨设m>n)为：
根据图象（可画出草图）知：当在对称轴右侧（a＞0.5）时,y随a的增大而增大.而a≥2，所以当a＝2时，y的值最小，最小值＝4（2－0.5）2－3＝9－3＝6.
变式练习：
若抛物线y=x2+2mx+m2+3m－2与x轴两交点为（x1，0），（x2，0），求x12+x1x2+x22的最小值.（试题来源于网络）
答案： 5/4
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