适合三个年级上学期的尖子生培优系列（11）
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反思：试题结构特殊，需要构造特殊形式的等式才可解之。
又如：
初二组：
如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．
（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是 写出结论即可）．
（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是 （写出结论即可）．
解析：
（1）如下图示：
由折叠得：∠ACB=∠MC′C，又∠AMC′=∠ACB+∠MC′C=2∠ACB；
故答案为：∠AMC′=2∠ACB.
（2）法一：如下图示，根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”可得：
所以∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠ACB+∠MC’N＝2∠ACB.
即∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB
法二：利用折叠的性质和三角形内角和定理。
所以∠1+∠2＝3600－2（∠3+∠4）＝3600－2（1800－∠C）＝2∠C.
即：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB.
（3）类似第（2）小题，同样可得到：
法一：如下图示，
所以∠1－∠2＝(∠MCC'+∠MC'C)－（∠3+∠4）＝(∠MCC'－∠4)+（∠MC'C－∠3）＝∠ACB+∠MC’N＝2∠ACB.
即∠AMC′－∠BNC′=2∠ACB.
法二：如下图示，
所以∠1－∠2＝3600－2（∠3+∠4）＝3600－2（1800－∠C）＝2∠C.
即：∠AMC′－∠BNC′=2∠ACB.
拓展：若往上折叠，如下图示，
所以∠1+∠2＝3600－2(∠3+∠4)＝3600－2(3600－∠C－∠D)＝2(∠C+∠D)－360°.
即∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）﹣360°．
法二：如下图示，（根据第2题的结论）
所以∠1+∠2＝2[180°－(∠3+∠4)]＝3600－2（∠3+∠4)＝3600－2[360°－(∠5+∠6)] ＝2(∠5+∠6)－360°.
即∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）﹣360°．
拓展（变式）：
（1）在第4小题中，若按如下图示折叠（点D在四边形的外部），∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）继续推广，如下图示，将五边形ABCDE纸片沿MN折叠，使点C、D、E落在四边形ABNM的内部时，∠AME′+∠BNC′与∠C、∠D、∠E之间的数量关系是 ．
初三组：
若关于x的方程ax2－3x－1=0的两不相等实数根均大于－1且小于0，求a的取值范围.
解析：若本题直接用求根公式讨论显然麻烦，若用“韦达定理”来解，一是有超纲之嫌（人教版不做要求），二是计算量也大且不好理解。如果用“数形结合”思想来解，则既便㨗，又易解。为此可设y＝ax2－3x－1，方程的两个不相等的实数根就转化为“与x轴交点的横坐标”均满足大于－1且小于0。
由题意知：抛物线y＝ax2－3x－1与x轴的两交点均在y轴左侧（“两不相等实数根均大于－1且小于0”），因此该抛物线的对称轴x=3/a<0，由此得到a＜0.画出符合题意的草图如下图示：
反思：“一元二次方程与二次函数”本是“一家”，也是“数与形结合”的一种具体形式，如能充分利用“数形结合思想解题，既快速又方便。
变式练习：
若关于x的方程ax2－3x－1=0的两不相等实数根满足：一根大于0且小于1，另一根大于－2且小于－1，求a的取值范围.
（解法类似，请读者们自己思考，若有疑问，可以在魔方数学群中讨论、提问。）
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