几何画板解析2017年湖南省邵阳中考倒二(几何背景)
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(2017·邵阳)如图1所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
【问题引入】
温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
(2)【其实这道题就是证明梅涅劳斯定理(Menelaus's theorem),至于梅涅劳斯定理是什么,我们后面再来科普一下.】利用前面的温馨提示,我们仍然会考虑过点A作MN的平行线.
(3)方法1:在前面证明完梅涅劳斯定理之后我们可以用分解的方式来理解图2:点P是直线FC与AD的交点,这么理解的好处在于能直接将条件中的两个比例关系利用到图形中:
方法2:但是如果想不到这种分解方式,我们依然可以回归到最原始的“一平行,两相似,求比值”的方法来解决这道题:(略解)
【反思】利用每一小题的结论进行层层推进,是解几何题的基本策略.梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或:设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充分必要条件是
(AZ/ZB)×(BX/XC) ×(CY/YA)=1。(读者们若有兴趣可以自行画图证明,这个定理以及塞瓦(Giovanni Ceva)定理是参加数学联赛的入门级定理).
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