几何画板解析2017年四川成都中考倒二（几何背景）
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（2017四川成都）
问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝1/2∠BAC＝60°，于是BC：AB＝2BD：AB＝根号3；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠ADE＝120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明：△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
【图文解析】
【分析】
迁移应用：①中，△ABC和△ADE是共定点的等腰三角形，在此结构下，隐藏旋转变换，只要证出旋转角∠DAB＝∠CAC，即可得证；
②中，由背景问题得规律，顶角为120°的等腰三角形，底边与腰的比为根号3，在此问中，△ADE也有此环境，即有DE/AD＝根号3，又由①中全等，CE＝BD，且CD＝CE＋DE＝BD＋DE，三条线段AD、BD、CD即可进行转换解决问题；
拓展延伸：①由对称操作，可得△CEF是等腰三角形，要证等边，则必有∠CEF＝∠ECF＝60°，其中∠CEF的外角∠AEC若能证得120°，则该问题即可解决．连接BE，可得BC＝BE，又由菱形及120°内角，故有BA＝BD＝BE＝BC，即有A、D、E、C四点共圆，∠AEC＝∠ADC＝∠ABC＝120°，得证；
②由①可得∠BFA＝30°，要求BF，构造直角三角形，解直角三角形即可，作BH⊥AF于H，FH＝AF－AH，AF＝AE＋EF＝AE＋EC，△ABE为等腰三角形，故AH＝1/2AE，在Rt△BFH中，cos∠BFH＝FH/BF，即可求解．
【详解】
迁移应用：
证明：①∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE即∠DAB＝∠EAC，
∵DA＝EA，BA＝CA，
∴△ADB≌△AEC；
拓展延伸：
证明：①连接BE，∵点E是点C关于BM的对称点，F为BM上一点，∴BE＝BC，FE＝FC，
∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，∴BA＝BC＝AD，∠ABD＝60°，∠ADC＝120°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝BA＝BC＝BE，
∴点A、C、D、E在以B为圆心，BA为半径的圆上，
∴∠AEC＝∠ADC＝120°，
∴∠CEF＝60°，
∴△CEF为等边三角形；
【反思】
迁移应用的②是对背景问题应用的体现，考查是否能利用背景问题中的性质，发现并解决问题；在拓展延伸中，利用轴对称渗透隐圆，由背景问题中的辅助线——垂直，构造特殊三角形解决问题．
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