几何画板解析2017年四川成都中考倒一（函数相关）
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（2017·四川成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB＝4×根号2，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【图文解析】
【分析】
（1）已知顶点（0，4）可设抛物线顶点式为y＝ax2＋4，且对称轴为y轴，又A，B为抛物线与x轴交点，AB＝4×根号2，∴A（－2×根号2，0），代入可求a，即有抛物线解析式；
（2）抛物线的旋转可以看作是顶点的旋转及开口方向的改变，由题意抛物线C′的顶点是由抛物线C的顶点D绕点F旋转180°得到，故抛物线C′的顶点坐标为（2m，－4），设抛物线C′的顶点式为y＝a(x－2m)2－4，与y＝ax2＋4联立，因为有两个不同的公共点，且都在y轴右侧，即x1＞0，x2＞0，
（3）由点P是抛物线第一象限内一点且到两坐标轴距离相等，可得出P点坐标，又题中已明确给出四边形PMP′N，故，PM为该四边形一边，PP′为对角线，且F为PP′中点，若四边形PMP′N为正方形，则△FPM为等腰直角三角形，构造全等，利用m表示出点M的坐标并代入解析式求解，即可得到结论，此处需注意，四边形PMP′N是顺时针描点还是逆时针描点，需分类讨论．
（3）四边形PMP′N能够成为正方形．
∵点P在抛物线上第一象限内，且P到两坐标轴距离相等，故设P（s，s）（s＞0）代入y＝－1/2x2＋4得s2＋2s－8＝0，解得s1＝2，s2＝－4（舍去），∴P（2，2）．
由于抛物线C′是有抛物线C绕这点P旋转180°所得，且P的对应点为P′，M、N分别为抛物线C、C′上动点，根据对称性及正方形的性质，当△PFM为等腰直角三角形时，四边形PMP′N即为正方形．
①如图①，作PE⊥x轴，MG⊥x轴，
【反思】
平移、翻折、旋转三种图形变换，都是由点出发，所以当抛物线遇上图形变换时，从顶点为切入点，是最佳的选择．对于点的位置要求，如第一象限内、y轴右侧，这些描述潜在地隐藏不等式于其中，结合根的判别式和根与系数的关系进行解题．正方形的问题常常转换成等腰直角三角形来解决，一种是二分之一的等腰直角三角形，另一种就是像本题中的四分之一等腰直角三角形，利用等腰直角三角形构造全等，根据全等的性质用参数设点的坐标，再将其代入解析式列方程求解，得出答案．关于四边形的问题中需注意顶点的描述，如“以P、M、P′、N为顶点的四边形”和“四边形PMP′N”，以及描点顺序上的分类讨论．
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