几何画板解析2017年山东德州中考倒一（函数相关）

Original 2017-10-07 福建福州　张丽华 初中数学延伸课堂

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（2017·德州）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x/k与y=k/x（k≠0）的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数y=x/k与y=k/x，当k＞0时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数y=x/k与y=k/x图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为　；

（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．

①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．

【图文解析】

(1)、简析：由反比例函数与正比例函数的对称性可知，A、B两点关于原点对称，故B（k， 1）

(2)、①思路1：即为小明的探究过程，设点P坐标为（m，k/m），因A坐标为（-k,-1），可求得直线PA解析式为：

过P作PH⊥x轴于点H，由线段垂直平分线的性质，若MH=NH，则点P在MN的垂直平分线上，那么PM=PN，因此，通过计算MH及NH的长度，可避开勾股定理，减少计算量。如下图示：

思路2：分别过A、B作y轴垂线，同样从等腰三角形的性质出发，要证得PM=PN，那么∠2=∠4，而由平行线性质，可得∠1=∠2，∠3=∠4，因此只需证得∠1=∠3即可。设点P坐标为（m，k/m），则可分别求得∠1、∠3的tan值即可。如下图示：

【反思】对于函数问题，若单纯考虑代数方法，则往往计算会很繁琐，若考虑数形结合，通过图形的特点，找出性质来解题，就可大大减少计算量。

②当k≠1时，P、B不重合，由点坐标的特点，可知，PO=BO=AO，因此，可通过构造以O为圆心，AO为半径的⊙O，则∠APB为直径AB所对的圆周角，等于90°，因此，△PAB为直角三角形，如下图示：

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