几何画板解析2017年四川攀枝花中考倒一（函数相关）

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（2017·四川攀枝花）如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M（6，0），N（0，2×根号3），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图13的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s），

（1）等边△ABC的边长          ；

（2）在运动过程中，当t＝     时，MN垂直平分AB；

（3）若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA→AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．

①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；

②当点P在线段AC上运动时，设S_△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S最大值及此时点P的坐标．

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【图文解析】

【分析】

（1）已知M、N的坐标，且△MON是直角三角形，从利用锐角三角函数确定特殊角，利用特殊的角度特殊的三角形，进而求出BA的长，即为等边△ABC的边长；

（2）考虑到△ABC是等边三角形，顶点C应在底边AB的垂直平分线上，又有MN垂直平分AB，C在x轴上，故当C点运动到M点时，即为所求时间点；

（3）①中的描述“△PEF与△MNO相似”，文字描述并没有给出具体对应，故应分类讨论，易知∠PEF＝90°＝∠MON，故只需分类是P还是F与M对应；另一方面，当P点过点E的时候，各线段长度的表示会发生改变，需要第二层面的分类思考．用参数t表示运动过程中各条边的长，利用相似的性质，列方程求解；

②首先确认△PEF的位置是否始终在MN上方，如果是，以EF为底，过点P作高，利用∠PFE＝30°，算出高，即有面积；若△PEF的位置可能至MN下方，那则需分类讨论．

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（3）

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【反思】

（1）、（2）问属于常态问题，主要在于找到图形的特殊性，利用锐角三角函数和垂直平分线的性质，可得出答案．

（3）中是对运动的综合考察，对于运动问题应先对整个运动过程有个直观的想象，可能在真正答题中不能全面体现，但是可以找到关键点、转折点，如P、E重合，P到点A，P和F的相对位置等，时间点一旦明确，不同时间段的图形就有个大致的位置，这个分类讨论的思考，需要平时的积累与升华．当落到每一个具体时间段的时候，剩下的往往就是根据相似、全等、等腰等具体性质，用参数表示长度，列方程求解．在②里的面积最值，题中给出了S是关于t的函数，如果将“求S与t的函数关系式”这个过渡删去，在解题的时候是否还能发现其中S与t的函数关系，进而解决问题呢？求面积最值的方法有很多，但是当与动点相结合时，寻找变量与变量间的关系构建函数，常常是个不错的选择．

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