几何画板解析2017年内蒙古赤峰中考倒二(几何背景)
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(2017·内蒙古赤峰)△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形,点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.
(1)当∠AOB=90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP与EQ的大小关系;
(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时如图2,(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请加以说明.
(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC、QD交于点G,使△ABG为等边三角形如图3,求∠AOB的度数.
【分析】(1)先判断出点P,O,Q在同一条直线上,再判断出△APE≌△BFE,最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论;
解:EP=EQ
如图所示,延长PE交QB延长线于F点(思考这条辅助线的目的?如何引导学生想到)
先由∠POA=∠QOB=45°,∠AOB=90°,得到∠POQ=180°,从而P,O,Q三点共线,从而△PQF为Rt△.
再如下图所示:利用E为AB中点,
AP∥BF,易得△PEA≌△FEB,得到PE=EF,即E为AB中点,
【反思】对P,O,Q三点共线进行说理,对学生而言应忽略,从而造成不必要的丢分.所以平时养成严谨的习惯很重要.利用中点和平行线构造”X”型全等是常见的手段.
(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时如图2,(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请加以说明.
解:成立,理由如下:
【反思】见到中点,关注中点所在的背景图形,此题综合利用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,“三角形中位线定理”,实现了相等线段的转化及角的转移.
(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC、QD交于点G,使△ABG为等边三角形如图3,求∠AOB的度数.
如图,连接GQ,易知GP垂直平分AO,GQ垂直平分BO,∴AG=OG=GB
【反思】关键在于关注中点所在的背景图形.同时若共顶点三线段相等,则三端点共圆.
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