适合三个年级上学期的尖子生培优系列（15）
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初一组：
如果4x2－2x+5的值为9，那么2x2－x+3的值是 ；3－8x2+4x的值是 .
分析：显然要想求出x的值，用七年级所学的知识不可能，但通过观察发现所求的式子中的“2x2－x”与“－8x2+4x”均与已知条件中的“4x2－2x”是倍分关系，因此可考虑“整体代入”.
解：依题意，得：4x2－2x+5＝9.则4x2－2x＝4. 所以，2x2－x+3＝1/2（4x2－2x）+3＝…＝5.3－8x2+4x＝3－2（4x2－2x）＝…＝－5.
初二组：
如图，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）求证AE∥BC．
（2）若点D运动到边BA或AB的延长线上，是否仍有AE∥BC？画出对应图形，并说明理由．
初三组：
如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①c﹣a=n；
②抛物线与x轴的另一个交点为（m，0），则﹣2＜m＜﹣1；
③当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
④一元二次方程ax2+（b﹣1/2）x+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
由顶点坐标为（1，n）得：﹣b/2a=1（得b=﹣2a）且 a+b+c=n，代入得：a﹣2a+c=n，整理，得：c﹣a=n.所以选项①正确；
②根据对称性，可得（如下图示）：
有AC＝BC，且2＜AC＜3（根据点A的坐标），所以2＜BC＜3，因OC＝1，所以1＜OB＜2.而B（m，0），所以﹣2＜m＜﹣1.所以选项②正确.
③由已知抛物线的图象知：a<0,当
y=0时，ax2+（b+2）x=0，x（ax+b+2）=0，得x1=0，x2=（－b－2）/a=（2a－2）/a=2﹣2/a＞0，如下图示，
∴当x＜0时，y=ax2+（b+2）x＜0，
因此选项③正确.
④方法一：判别式法（通法、常法）
由图象知：a＜0，c＞0.
△=（b﹣1/2）2﹣4ac≥－4ac＞0，
∴方程ax2+（b﹣1/2）x+c=0有两个不相等的实数根.因此选项④正确.
法二：图像法
原方程可化为：ax2+bx+c=1/2x，
原方程的根可看作函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=1/2x交点的横坐标.如下图示：
显然两函数图象有两个交点，所以所判断的方程有两个不相等的实数根.
综上所述，正确结论是：①②③④，共4个，故选D．
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