适合三个年级上学期的尖子生培优系列（17）

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　△ABE中，∠1＝∠2+∠E，又∠1=2∠C＝2∠E，得∠2+∠E＝2∠E，即∠2＝∠E，所以AB＝BE，又AE＝AB，因此CE＝AB.

　　综上，由BE＝AB与CD＝DE，得：CD＝DE＝BE+BD＝AB+BD.

反思：“取长补短”法，是几何证题中常用的方法，其中也蕴含着“对称”思想，因此也常在“角平分线”中用到。请同学们务必仔细体会。

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初三组：

如图，已知二次函数L₁：y=ax²﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L₂：y=﹣a（x+1）²+1（a＞0）的图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax²﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为　　，当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是　　．

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）²+1=0的解．

　　因二次函数L₁的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；二次函数L₂：y=﹣a（x+1）²+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；∴当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1.

　　因此答案为：3，﹣1≤x≤1．

（2）由L₁：y=ax²﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），由L₂：y=﹣a（x+1）²+1=﹣a²x﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1），

法一：如上图，不难证明MN的中点为（0，2），EF的中点也是（0，2），从而EF与MN是互相平分，所以MENF是平行四边形，又EF＝MN，所以四边形MENF是矩形.

法二：如下图示，通过全等，不难证明：…….