几何画板解析2017年湖北荆州中考倒二（几何背景）
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（2017·山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
【图文解析】
认真读题后不难发现，本题有两个关键词：1、∠ABD=∠ADB=60°，因此AB=AD；2、∠ACB=∠ACD=∠BAD=60°，即∠BAD+∠BCD=180°，从而∠ABC+∠ADC=180°，无论是小明还是小亮的思路，其实都是建立在这两个关键词的基础上的，一个是构造旋转型的全等，一个是直接旋转。其中，条件1保证旋转前后两条边能重合，条件2保证旋转后的三角形与另一个三角形能恰好拼成一个新的等腰三角形.
(1)在小颖改完条件后，这两个关键词并没有发生变化，那么依然可以用这两个思路来解题，而再次观察题目后不难得出，A、B、C、D四点是在以AB为直径的圆上，如下图示：
（2）无论将这几个角的大小改为多少，两个关键词依然成立，同时，我们也依然能看出，A、B、C、D四点共圆，因此，同样的思路，将△ABC绕点A逆时针旋转（180-2α）°，得到△ADE，则构造了等腰△ACE，底角为α，过A做AF⊥CD，则可得BC+CD=2AC•cosα
【反思】虽然改变条件，但是旋转的关键条件并未改变，因此，要抓住本题中不变的量，直击靶心。
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