几何画板解析2017年湖北荆州中考倒一（函数相关）
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（2017•湖北荆州）如图在平面直角坐标系中，直线y=-3/4x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
【反思】
(1)简析:由直线y=-3/4x+3可求得A(4,0),B(3,0),AB=5；根据P、Q两点的运动速度可知,AP=4t,AQ=5t;
∴△PAQ∽△OAB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
即直线AB是⊙Q的切线.
【反思】
只要证明△PAQ∽△OAB,即可推出∠APQ=∠AOB=90°,QP⊥AB,即证得AB是⊙O的切线.
（2）简析:
①如下图,当直线CM在⊙Q的左侧与⊙Q相切时,设切点为D1,则四边形PQ D1M是正方形.
PQ=DQ=3t,CQ=5/4•3t=15t/4,
∵OC+CQ+AQ=OA,即m+15t/4+5t=4,
∴m=4-35t/4.
②如下图,当直线CM在⊙Q的右侧与⊙Q相切时,设切点为D2,则四边形PQ D2M是正方形.
∵OC+AQ-CQ=4,即m+5t-15t/4=4,
∴m=4-5t/4.
【反思】
第二问需类两种情形求解:①当直线CM在⊙Q的左侧与⊙Q相切.②当直线CM在⊙Q的右侧与⊙Q相切.分别列出方程即可解决问题．
（3）简析:以下分类为⊙Q在y轴的左侧(右侧)与y轴相切两种情形讨论.
① 如下图，当⊙Q在y轴的右侧与y轴相切时,
∵OQ+AQ=OA,即3t+5t=4,解得t=0.5,
由(2)可知m=4-35t/4,
∴m=﹣3/8或27/8．
② 如下图,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,
∵OQ+OA=AQ,即5t-3t=4,解得t=2,
由(2)可知m=4-5t/4,
∴m=-13.5或1.5.
综上所述，满足条件的点C的坐标为(-8/3,0)或(27/8,0)或(-13.5,0)或(1.5，0).
【反思】
本题主要考察一次函数的图象与性质和直线与圆的位置关系.分两种情形讨论,并根据(2)中的结论代入,一共有四个点满足条件.
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