几何画板解析2017年湖南湘潭中考倒一（几何背景）

Original 2017-10-13 福州十九中　周韧 初中数学延伸课堂

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（2017·湖南湘潭）如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B 及弧AB 的中点F 重合），连接OM．过点M 作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作⊙O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN．

（1）探究：如图一，当动点M在弧AF上运动时；

①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由；

②设（ME+NC）/MN＝k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设∠MBN=α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点M 在弧FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

【图文解析】

（1）①很明显由MN与⊙O相切，得到∠OMN=90°，∴△OEM∽△MDN（一线三等角）.

②从式子的形式来看（ME+NC）/MN中的ME+NC，需要我们将ME和NC“组合”在一起，这样我们就想到了这可能是对MN进行截长或者是对ME与NC进行补短，∴我们先分析图形的条件：

③这里的MN，BC显然是⊙O的切线，∴由切线长定理以及ED//BC，

∴可以得到∠EMB=∠NMB，从而这道题应选择“截长”法来处理：

【反思】本题是在圆的背景下考查了几种常规辅助线思想：1、切线长定理，2、截长补短，3、半角模型，希望读者们在见到基本的线段和差以及半角问题时能想到辅助线的添加的基本方法.

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