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几何画板解析2017年湖北黄石中考倒一(函数相关)

2017-10-16 福建福州 程小璐 初中数学延伸课堂



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(2017•湖北黄石)如图,直线ly=kx+bk0与函数y=4/xx>0)的图象相交于AC两点,与x轴相交于T点,过AC两点作x轴的垂线,垂足分别为BD,过AC两点作y轴的垂线,垂足分别为EF;直线AECD相交于点P,连接DE,设AC两点的坐标分别为(a,4/a)、(c,4/c),其中ac0

(1)如图①,求证:∠EDP=ACP

(2)如图②,若ADEC四点在同一圆上,求k的值;

(3)如图③,已知c=1,且点P在直线BF上,试问:在线段AT上是否存在点M,使得OMAM?请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.




【思考】在第一小题中,要证明角度相等,经常用的是平行线或者三角形全等,但是题目中给的是线段长度的条件,由此可以想到利用三角形相似也可以证明角度相等。在第二小题中,由四点共圆可以想到对角互补,从而得到解题的条件。在第三小题中,首先要进行作图,而由垂直的条件想到与三角形面积相关,继而再求出答案。 


【图文解析】

(1)

PED的坐标可表示出PA=acEP=cPC=4/c-4/a=4a-c)/ac ,DP=4/a可证明EP/PA=c/(a-c)=DP/PC且∠EPD=APC,由此得到△EPD∽△CPA,利用相似三角形的性质可证得结论;

 

(2) 

 由(1)可知DEAC

∴∠DEC+ECA=180°

ADEC四点在同圆周上,

∴∠DEC+DAC=180°

∴∠ECA=DAC

可推出△AEC≌△CDAAAS),

CD=AE,即a=4/c,可得ac=4

AC点坐标代入解析式,可以得到

解得k=(4/a-4/c)/(a-c)=-4/ac=-1




    假设在线段AT上存在点M,使OMAM,连接OMOA,作MNx轴于点N,可以求出C(1,4),F(0,4),P(1,4/a),Ba,0),设直线BF的解析式为y=k′x+4,将BF点代入得到方程组,解得a=2,得到A(2,2),AP为△DCT的中位线.

再根据2<12/5<3,可以判定点M在线段AT上,即在线段AT上存在点M,使得OMAMM点的坐标为(12/5,6/5).


【思考】此题综合性较强,不但考察同学们的运算能力,还考察了几何知识的综合运用。几年来参数运算的题目常常出现,中考也加大了对计算能力的考察,希望同学们都要多加练习。


【拓展训练】如图,点MN在反比例函数y=k/xk>0)的图象上,过点MMEy轴,过点NNFx轴,垂足分别为EF.你发现MNEF之间有着怎样的位置关系?说明你的理由.




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