几何画板解析2017年湖北黄石中考倒一(函数相关)
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(2017•湖北黄石)如图,直线l:y=kx+b(k<0)与函数y=4/x(x>0)的图象相交于A、C两点,与x轴相交于T点,过A、C两点作x轴的垂线,垂足分别为B、D,过A、C两点作y轴的垂线,垂足分别为E、F;直线AE与CD相交于点P,连接DE,设A、C两点的坐标分别为(a,4/a)、(c,4/c),其中a>c>0.
(1)如图①,求证:∠EDP=∠ACP;
(2)如图②,若A、D、E、C四点在同一圆上,求k的值;
(3)如图③,已知c=1,且点P在直线BF上,试问:在线段AT上是否存在点M,使得OM⊥AM?请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【思考】在第一小题中,要证明角度相等,经常用的是平行线或者三角形全等,但是题目中给的是线段长度的条件,由此可以想到利用三角形相似也可以证明角度相等。在第二小题中,由四点共圆可以想到对角互补,从而得到解题的条件。在第三小题中,首先要进行作图,而由垂直的条件想到与三角形面积相关,继而再求出答案。
【图文解析】
(1)
由P、E、D的坐标可表示出PA=a﹣c,EP=c,PC=4/c-4/a=4(a-c)/ac ,DP=4/a,可证明EP/PA=c/(a-c)=DP/PC且∠EPD=∠APC,由此得到△EPD∽△CPA,利用相似三角形的性质可证得结论;
(2)
由(1)可知DE∥AC,
∴∠DEC+∠ECA=180°,
∵A、D、E、C四点在同圆周上,
∴∠DEC+∠DAC=180°,
∴∠ECA=∠DAC,
可推出△AEC≌△CDA(AAS),
∴CD=AE,即a=4/c,可得ac=4,
将A点C点坐标代入解析式,可以得到
解得k=(4/a-4/c)/(a-c)=-4/ac=-1
假设在线段AT上存在点M,使OM⊥AM,连接OM、OA,作MN⊥x轴于点N,可以求出C(1,4),F(0,4),P(1,4/a),B(a,0),设直线BF的解析式为y=k′x+4,将B点F点代入得到方程组,解得a=2,得到A(2,2),AP为△DCT的中位线.
再根据2<12/5<3,可以判定点M在线段AT上,即在线段AT上存在点M,使得OM⊥AM,M点的坐标为(12/5,6/5).
【思考】此题综合性较强,不但考察同学们的运算能力,还考察了几何知识的综合运用。几年来参数运算的题目常常出现,中考也加大了对计算能力的考察,希望同学们都要多加练习。
【拓展训练】如图,点M、N在反比例函数y=k/x(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E、F.你发现MN与EF之间有着怎样的位置关系?说明你的理由.
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