适合三个年级上学期的尖子生培优系列（22）
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初一组：
已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
解析：理解好题中的定义，是解题的关键，同时必须严格按照定义进行转化为通常的计算，
（1）2※4=2×4+1=9；
（2）（1※4）※（﹣2）
=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；
（3）如：（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，
5※（﹣1）=5×（﹣1）+1=﹣4；
（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．
∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．
（说明：此时并不符合分配律）
解析：与角平分线相关的常用思路（辅助线）有三种，同时本题又是“线段的和差倍分”（方法：“取长补短”），因此自然有以下解法：
法一：延长AE交BC的延长线于E，如下图示：
由AD∥BC得∠ABC+∠BAD=1800，∠3＝∠4，由AE、BE分别平分∠BAD和∠ABC，得∠2＝∠3，且∠1+∠2=0.5(∠ABC+∠BAD)=900，所以∠AEB＝900（即BE⊥AF）且∠2＝∠4（得到BA＝BF）.如下图示：
初三组：
如图，等边三角形ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN，则在点M运动过程中，求线段MN长度的最小值.
解析：要求MN的最小值，无法直接求，所以必须将MN转化成其他线段，根据根据旋转的性质，不难得到旋转600后，容易得到等边三角形，恰好MN是其边长，问题迎刃而解！强调：旋转600易得到正三角形，旋转900，易得到等腰直角三角形和450的角，务必要熟练掌握.
答案：由旋转的性质知，BM=BN，
又∠MBN=60°，
∴△BMN为等边△．
∴MN=BM，
∵点M是CH所在直线上的一动点，
∴当BM⊥CH时，MN最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．
又△ABC为等边三角形，
且AB=BC=CA=2，
∴当点M和点H重合时，MN最短，且有MN=BM=BH=0.5AB=1．
变式练习：
连接NH，其他条件不变，求NH的长的最小值．
提示：连接AN，通过证明∠BAN＝∠BCH＝300，得到N点必在经过A点与AB成300的下方的直线上，再利用“垂线段最短”可得答案为：0.5.
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