适合三个年级上学期的尖子生培优系列（24）
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初一组：
把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．求图②中两块阴影部分的周长和.（用含m、n的式子表示）
解析：直接求解，困难较大，因4个小长方形的形状大小完全相同，因此可设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
则C上面的阴影=2（n﹣a+m﹣a），C下面的阴影=2（m﹣2b+n﹣2b），所以C总的阴影=C上面的阴影+C下面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）=4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b=m，∴4m+4n﹣4（a+2b）
=4n．如下图示：
【反思】本题充分利用了“字母表示数”的换元和整体思想，在解题时要根据题意结合图形得出相关式子，然后通过化简，得到正确答案.
初二组：
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，而本题中要证明的两条线段不在同一个三角形中，且它们所在的两个三角形也不全等，因此，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．同时由本题中的“E是BC的中点”自然想到与中点相关的辅助线（如“倍长中线”）
【点评】解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形或等腰三角形解决问题．
拓展（变式）：如图，在△ABC中，AD交BC于D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.
初三组：
如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，若点G′在AC上，连接CE′，求CE′+CG′的长.
解析：本题线条多，但因图中有三个正方形，因此有较多的相等线段和450的角，而且DEFG绕点D顺时针旋转60°得到正方形DE′F′G′，因此可以通过这些特殊的角和线段，构造与CE′和CG′相关的全等图形（或等腰三角形）即可得到解决.
反思：在条件较多的情况下，快速提练最有用的条件是解题的关键！本题解法解法多种，但几乎均是围绕“直角”这个最关键的条件展开的.
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