适合三个年级上学期的尖子生培优系列（25）
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初一组：
当x=2时，多项式ax5+bx3+cx-1的值为5，求当x=-2时这个多项式的值.
解析：想从已经条件中求得a、b、c的值显然不可能.因此只能考虑“整体求出”和“整体代入”.
初二组：
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，ED⊥FD，ED与AB交于E点，FE与AC交于F点，求证：BE=AF，AE=CF.
解析：等腰直角三角形中具备等腰三角形和直角三角形的所有结论，同时因D又是BC边的中点（想到中线），想到“三线合一”、“斜边上的中线等于斜边的一半”（八下内容），因此很自然地想到：连接AD，如下图示：
要证“BE=AF，AE=CF”，不难想到必须通过两三角形全等解决，由于AB＝AC，因此只需证出其中一组线段相等，就能得到另一组线段相等，因此可以通过△BDE≌△ADF或△ADE≌△CDF.
如下图示：
拓展：
（1）若点E分别落在AB或BA的延长线上，其他条件不变，结论又如何？请画出相应的图，并证明你的结论.
（2）若将题中的某一个结论（如BE＝AF）与已经条件“ED⊥FD”对换，这个命题不是真命题？试说明理由.
提示：相关图形如下，证法类似.
初三组：
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝1100，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转600得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝1500时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解析：
（1）根据旋转不变性：∠OCD＝∠BCA＝600，且CO＝CD，因此△COD是等边三角形.
同样根据旋转不变性，可得到∠ADC＝∠BOC＝1500，同时由（1）知：∠CDO＝600，所以∠1＝∠AD 50 29472 50 14986 0 0 1951 0 0:00:15 0:00:07 0:00:08 3020C－∠CDO＝1500-600＝900，因此△AOD为直角三角形.
（3）通过上述相关结论和旋转的性质，不难得到△AOD的三个角分别为（用含α的式子表示）.
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