几何画板解析2017年四川德阳中考倒一（函数相关）
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（2017·四川德阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2＋n（m≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，其中A（－1，0），C（0，－1）．
（1）求抛物线C1及直线AC的解析式；
（2）沿直线AC上A至C的方向平移抛物线C1，得到新的抛物线C2，C2上的点D为C1上的点C的对应点，若抛物线C2恰好经过点B，同时与x轴交于另一点E，连结OD、DE，试判断△ODE的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，或P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于G，设PF＝h1，PG＝h2，试判断h1·h2的值是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【图文解析】
（1）设lAC：y＝kx＋b，将A、C坐标分别代入y＝kx＋b和y＝mx2＋n，解两个二元一次方程组，即可求出k＝－1，b＝－1，m＝1，n＝－1，∴抛物线C1的解析式为y＝x2－1，直线AC的解析式为y＝－x－1．
（2）判断三角形的形状，结合图形考虑是等腰（等边）或直角（等腰直角）．理由两个角度，其一从角度说明，第二从边长关系说明．
本题中，应先确定抛物线C2的解析式．顶点D落在直线y＝－x－1上，设D（m，－m－1），由于平移不改变抛物线的形状，故设C2的解析式为y＝(x－m)2－m－1．由（1）可得B（1，0），将其代入C2解析式，即可求出m1＝0（与C1重合，舍去），m2＝3，∴D（3，－4），∴抛物线C2的解析式为y＝(x－3)2－4，即可求出E（5，0），∴OE＝5，根据勾股定理，OD＝5＝OE，DE＝2×根号5，所以△ODE为等腰三角形．
（3）随着P在OE上移动，h1、h2的值都在发生改变，尝试能否通过P点的运动表达出h1、h2的变化．点P的改变，实际上是它的横坐标的改变，不妨设横坐标为n，则n的取值范围为0＜n＜5，即OP＝x，PE＝5－x．
【反思】
如何将函数思想渗透到此类最值问题的解题中，是解题思路上的一个突破，寻找变量之间的控制关系，h1，h2的改变是由点P的运动引起的，而点P的运动只是其横坐标发生了变化，在动中找静，如锐角三角函数的值．
——福建福州林经武
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