几何画板解析2017年辽宁锦州中考倒二（几何背景）
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（2017•辽宁锦州倒二）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【图文解析】
(1)结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴如图易证△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵点G、F是BE和DE的中点
∴GF是△BD E的中位线
∴FG=BD，GF∥BD，
同理：FH=1/2EC，FH∥EC，
∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，
又∵四边形ADME的内角为3600
∴∠DME+∠DAE=180°，
∵∠DAE=60°
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为等边三角形．
【小结】这种多个中点的题目，经常是利用三角形的中位线来解题，故这种题型的辅助线添加，思想就是去构造三角形的中位线。
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=1/2BD，
∴△GFH的周长=3GF=3/2BD，
故△GFH周长的大小由BD的长度来决定，又因△ADE在旋转的过程中，点D的运动轨迹是以点A为圆心，AD长（即b长）为半径的圆，而点B是外一点，故当点D在线段AB上时，线段BD有最小值为a﹣b（如下图1）；当点D在线段AB的延长线上，线段BD有最大值为a+b（如下图2），
∴△FGH的周长最小值为3/2（a﹣b），最大值为3/2（a+b）．
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