几何画板解析2017年四川省德阳倒二（几何背景）
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（2017·四川德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直线，DF为切线，过AO上一点N作NM⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．
（1）求证：△DMN∽△CED；
（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO＝45°，⊙O的半径为3，求DN2＋GN2的值．
【图文解析】
（1）由DF为⊙O切线，可得直径CD⊥DF，又NM⊥DF，可证MN∥CD，即有∠DNM＝∠EDC；由CD为直径，可得∠DEC＝90°＝∠NMD，即可得△DMN∽△CED．
切线的性质与直径所对的圆周角是90°，是圆的问题中常见的两个工具．
【思路2】
由CD⊥DF可得∠FDE＋∠EDC＝90°，由∠DEC＝90°可得∠EDC＋∠C＝90°，同角的余角相等，即有∠C＝∠NDM，亦可证明全等．
该思路的落脚点是弦切角定理的证明．
（2）由∠DNO＝45°，可知对顶角∠ENA＝45°，由对称性可证∠GNA＝45°、GN＝EN，即有∠GND＝90°＝∠GNE，连接GE，则有∠EGN＝∠GED＝45°，题中要求DN2＋GN2的值，由勾股定理即是求GD2．
题中只给出半径为3，思考，将半径（或直径）与GD联系．
【思路1】连接OG，∴∠GOD＝2∠GED＝90°，根据勾股定理GD2＝GO2＋DO2＝18．
【思路2】
连接CG，∴∠GCD＝∠GEN＝45°，∠CGD＝90°，∴∠CDG＝45°，即△GDC为等腰直角三角形，即可得CD2＝GD2＋CG2＝2GD2＝36，故GN2＋DN2＝GD2＝18．
【反思】同弧或等弧所对的圆周角相等，圆心角和圆周角的数量关系，在圆的证明和计算中，一定要时刻留意图中是否有这样的信息，并加以利用．
——福建福州林经武
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