适合三个年级上学期的尖子生培优系列（27）
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初一组：
把正偶数按如图所示的方法排成数阵，现用一平行四边形框圈出四个数（如图示）．
（1）设平行四边形框中的最小一个数为，请用含的式子表示出其他三个数；
（2）若框中最大的一个数为第行第三列所在的数，请用含的式子表示出其他三个数，并求出此时框内四个式子的和．
解析：认真观察数阵的排列特征，不难得到：相邻两行（同列）之间相差10，相邻两列（同行）之间相差2.平行四边形框圈出的四个数分别在两行数中，在三列数中，左上角与右下角的两数错开三列（不同行），因此这两数相差10+2×2＝14（也是框出的4个数中的最大数与最小数的差），右上角与左下角的两数位于同列（不同行），因此这两数相差10.
（1）当平行四边形框中的最小一个数为（应位于左上角）时，其他各数分别为：x+2,x+12,x+14；
（2）根据上述规律：第行第三列所在的数应为10(n-1)+6=10n－4，即最大的数为10n－4.最小的数为10n－4－14＝10n－18.其余两数为10n－16，10n－6.因此这四个式子的和为：(10n－18)+(10n－16)+ (10n－6) + (10n－4)=…=40 n－44.
初二组：
如图示，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，AD是BC边的中线，过C点作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系.
解析：可充分利用图中的“双垂线”构造常见的全等三角形。同时由于∠ADC和∠BDE所处的位置无法直接得到两全等的三角形，所以必须将其中的一个角进行转化，本题可以将∠ADC和∠BDE之一分别转化。
法一：过B点作BG⊥BC交CE的延长线于G，如下图示：
初三组：
已知：如图，△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.
解析：由于△BCD为等边三角形，所以可以通过旋转进行解决，方法多种，仅以一种方法详解，其他方法图解提示：
法一：将△ABC绕B点顺时针旋转600，使C与D重合，得到△A’BD，连接AA’，如下图示：
如下图示，不难得到△ABA’是等边三角形，得到∠3=∠1=600，同时由旋转的性质，知∠2=∠BAC=1200，从而得到∠AA’D=1800，因此A、A’、D三点共线，因此∠BAD=∠3=600.
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