适合三个年级上学期的尖子生培优系列（29）
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初一组：
已知m，n，p满足│m│+m=0，│n│=n，p·│p│=1，化简│n│－│m+p－1│+│p－n│－│2n+1│．
解析：首先要先判断出每一个绝对值符号内部的式子的符号，再根据“绝对值的性质”进行化简（去掉绝对值符号），然后再进行合并同类项即可.
解：由“│m│+m=0，│n│=n，p·│p│=1”，可得：m≤0（非正数），n≥0（非负数），p=－1，
所以m+p－1=m－2＜0，p－n＝－1－n＜0，2n+1>0.
初二组：
在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：PM=PN.
解析：等腰直角三角形和中点想到“对称”和“中位线”定理，同时等腰直角三角形沿一直角边对称后还能得到另一等腰直角三角形，再由“三线合一”，又可得到中点（中线），因此可以有以下解法。
法一：如下图示，
不难得到：△ABB’和△CAC’是等腰直角三角形，进一步地，得到△ABC’≌△AB’ C，从而BC’=B’C；同时，由三角形的中位线定理，得NP＝0.5BC’，MP＝0.5B’C，如下图示：
所以MP＝NP.
法二：（简解）如下图示：
由“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得：DM＝0.5AB，由“中位线定理”可得：PQ＝0.5AB，所以PQ＝MD；同理NQ＝PD.同时∠1＝∠BAC＝∠2，∠BDM＝∠CQN＝900，所以∠PDM＝∠NQP.因此△PDM≌△NQP，….
拓展（变式）：
（1）在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：∠MPN＝900.
（2）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：△MPN是等腰直角三角形.
若将图形的位置继续改变呢？如下图示：
如果将其中的图形继续改变？如下图示：
提示：解法类似.
初三组：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE＋FD=EF．求证：∠EAF＝0.5∠BAD.
解析：由于AB＝AD，具备“旋转”的条件，因此可以将“BE+FD＝EF”条件转化为两线段相等.
法一：如下图示，
得到∠EAF＝∠E’AF＝0.5∠EAE’＝……＝0.5∠BAD.
法二（简析），如下图示：
变式练习：
（分别将图形进行如下变式：结论又如何？）
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE＋FD=EF．求证：∠EAF＝0.5∠BAD.
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