几何画板解析2017年山东济南倒二（几何背景）

Original 2017-10-24 福建福州　严伟胜 初中数学延伸课堂

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(2017·山东济南)如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E,A,C在同一直线上，连接BD，F是BD的中点，连接EF,CF，试判断△CEF的形状并说明理由．求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．问题探究：

（）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF．以下是她的证明过程：

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1上作出证明中所描述的辅助线．

②在证明的括号中填写理由（请在SAS,ASA,AAS,SSS中选择）．

（2）在（1）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．

问题拓展

（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE,延长DE交BC的延长线于点P，其它条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．

图文简析：

（1）①辅助线如图所示②AAS.

反思：中点常常添加辅助线构造全等三角形.

（2）如图，延长BA,DE交于点M，由已知易得∠M=∠CBA=∠EDA=30°，∠MAE=∠EAD=60°，则得AM=AD，ME=DE=BG，从而可得平行四边形MEGB，推出∠CEF=∠MAE=60°.结合（1）题中得到的CF=EF，可得△EFC是等边三角形。

反思：由于上小题中已证明DE平行且等于BG，再加上∠EDA=∠CBA=30°，所以考虑构造平行四边形，得出60°的角.

方法二：如图，观察到△EAD与△CAB都是30°的直角三角形，所以它们的对应边成比例，再加上ED=BG，于是CA与CE的比等于CB与CG的比，可得△CBA∽△CGE，从而得到∠CEG=∠CAB=60°，接着就得到等边三角形EFC。

反思：本题思路顺着（2）题，构造全等，利用平行线和四边形内角和性质得到角相等，更关键的是观察到对应边的比相等，从而构造相似三角形，得到RT∠ECN，结合三角函数就可得等边△CEF.

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