适合三个年级上学期的尖子生培优系列（30）
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(注：从下一期开始，将三个年级分开在不同篇小文章中)
初一组：
在下面的一排小方格中，除已知的数外，其余的小方格中的每个字母代表一个有理数，已知其中任何三个连续方格中的有理数之和为23.
（1）求T+H+A+N+K的值；（2）分别求出T、H的值；（3）在经历了问题（2）的解答后，请你说明小方格中的数的排列规律，并猜想：小方格中第2017个数应是多少？
解析：根据“其中任何三个连续方格中的有理数之和为23”，不难得到：
（1）依题意，有T-12+H＝A+N+K＝23，
得到：（T-12+H）+（A+N+K）＝46，
去括号，得：T-12+H+A+N+K＝46，
所以T+H+A+N+K＝46+12＝58.
（2）由T-12+H＝－12+H+A＝23得：
T＝A,H+A=23+12=35；由－12+H+A＝H+A+N＝23得N＝－12；由H+A+N＝A+N+K＝23得H＝K；由A+N+K＝N+K+8＝23得A＝8=T；N+K＝23-8＝15，即-12+K＝15，得到K＝15+12＝27＝H.
所以所求的T＝8，H＝27.此时上述的方格的数分别为：8、-12、27、8、-12、27、8.
（3）由上述数的排列可以看出：每三个数一次循环，而2017÷3＝672……1（余数），因此第2017个数应是8.
反思：注意“整体思想”的灵活运用.
初二组：
CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
得到CE＝AF，BE＝CF，进一步，得到：BE＝CF；EF＝|BE﹣AF|.
详细答案如下：
解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．
②当满足条件“∠α+∠BCA=180°”时，如下图示，不难证明△BCE≌△CAF，下同，解法与①类似.
详细答案如下：
所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．
∵∠BCA=180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．
（2）如下图示，类似地，通过下列两阴影部分三角形全等，不难得到：EF=BE+AF.
答案如下：
猜想：EF=BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，
∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，
∴∠BCE=∠CAF，又∵BC=CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．
初三组：
已知：正方形ABCD，等腰直角三角形BEF，AD、BE交于点M，CD、BF交于点N，将△BEF绕点B旋转.
（1）如图1，若点M、N分别在AD，CD上（不与点A，D，C重合）时，写出线段AM、MN、NC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
（2）如图2，若点M，N分别在AD，DC的延长线上时，判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论并证明；
（3）若点M、N分别在AD、DC的反向延长线上时，请完成图3并判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论不必证明）.
解析：（1）法一：将△ABM绕B点顺时针旋转900，使A点与C点重合，得到△BCM’，如下图示，可得到：
反思：遇到正多边形的相关综合试题，具备“旋转”的条件（共顶点的线段相等），均可以通过旋转解决问题.
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