九上尖子生培优系列(31) ——《旋转》提高练习1

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已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

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【分析】利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质可以得到对应的线段和角相等。进一步地，可通过“等腰三角形的性质与判定”进行边角转换，以及三角形的外角的性质，问题即可得到解决。

【图文解析】

（1）如下图示，由“三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称”不难得到：

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如下图示，“三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称”不难得到：

       显然，在△CDM和△PMF中，可由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”不难得到：∠MCD＝∠F.

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详细解答过程如下：

解：∠F=∠MCD．理由如下：

由（1）可得：

∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，

∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，

∴∠F=∠MCD．

（设∠MPC=α，∠BMA=β，是为了书写方便）

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【反思与变式】

       已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．若∠F＝∠MCD，判断∠BAC与∠MPC的数量关系，并说明理由.

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