九上尖子生培优系列(32) ——《旋转》提高练习2
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如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）当四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，求证：EF=DF﹣BE；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=0.5∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；
（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=0.5∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．
【分析】（1）（2）（3）的解题思路一致，都是通过两次全等得到；在DF上截取DM=BE，先证△ADM≌△ABE，得DF=BE；进一步再证△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的数量关系．（4）根据前三问知：EF=DF﹣BE，那么△CEF的周长可转化为：EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解．
【图文解析】
（1）将△ABE绕A点逆时针旋转900，使B点与D点重合，得到△ADE’（或者在DF上截取DE’=BE，连接AE’），如下图示，得到：
详细解答过程如下：
解：（1）证明：在DF上截取D E’=BE；
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△AD E’（SAS），
∴AE=A E’，∠EAB=∠DA E’；
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DA E’，
∴∠BAF+∠DAE’=45°，
即∠E’AF=45°=∠EAF，
又∵AE=A E’，AF=AF，
∴△AEF≌△A E’F，得EF= E’F，
∵DF=D E’+ E’F，
∴DF=BE+EF，即EF=DF﹣BE．
（2）解法与思路与（1）类似，只做图解.
结论：EF=DF﹣BE．如下图示：
详细解答过程如下：
证明：在DF上截取DE’=BE，连接AE’
（用旋转法来证明，类似）
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，∴AD=AB，
∴△AD E’≌△ABE，∴A E’=AE，
∴∠DA E’=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=0.5∠BAD，
∴∠ E’AF=0.5∠BAD，∴∠EAF=∠E’AF；
∵AF是△EAF与△MAF的公共边，
∴△EAF≌△MAF，∴EF= E’F；
∵E’F=DF﹣D E’=DF﹣BE，
∴EF=DF﹣BE．
详细解答过程如下：
解：由上面的结论知：DF=EF+BE；
∴△CEF的周长为：
=EF+BE+BC+CF
=DF+BC+CF=9+4+2=15．
即△CEF的周长为15．
【变式与拓展】
若将E点改为BC或BC延长线上的点，其他条件不变，上述相关结论又如何？（如图示——为第三小题的图，其他小题的图类似.）
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