八上尖子生培优系列(33) ——《轴对称》的最值问题（3）
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已知，如图，△ABC，P、Q、R是△ABC边上的动点，请找出使△PQR周长最小的点.
【图文解析】
解题思路与之前的最值问题（1）和（2）类似，不再赘述。本题因三个点均为动点，似乎难度挺大，但如果假设其中一个点（不妨假设Q）的位置已经确定，问题就转化为“在边AB和AC上找两点，使△PQR周长最小”，此时，可以通过Q点分别做关于AB和AC对称得到Q’和Q”，连接Q’Q”分别与AB、AC相交，所得到的交点，即为P和R点.如下图示：
此时△PQR的周长就是Q’Q”的长.
进一步地，如下图示：
不难证明：AQ’=AQ”=AQ，同时∠Q’AQ”=2∠BAC（定值），得到△AQ’Q”是一个顶角固定的等腰三角形.因此要想求Q’Q”（底边）的长的最小值，只需腰长（AQ’=AQ”=AQ）最短即可，即AQ的长最短，根据“垂线段最短”得到，当AQ⊥BC时，符合条件.如下图示：（对应的P和R点也同时确定）.
实际上，不难从Q点的位置得到，P与R也分别是AB和AC边上高与这边的生垂足点，不妨将△PQR称作“垂足三角形”.如下图示：
【拓展运用】如图，在∠AOB的内部有一个半径为2的圆M，P、Q、R分别是OA、OB和圆M上的动点，已知∠AOB＝600，OM＝10，求△PQR周长的最小值.
答案：8×根号3.（可到对应的群讨论）
进一步，若将R点或P点在其他图形（或图象）上的动点，结果又如何？试试看！
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