定弦定角问题及求最值的应用（适合九年级）——好题欣赏（1）
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《圆》这个单元学完后，我们常碰到一个基本图形：已知AB为定线段，C为动点，且∠ACB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们能推出则动点C则为以AB为直径的圆上的任意一点。如下图示：
【应用】
如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP的长的最小值
首先要找到点P的运动轨迹，是以AB为直径的圆在Rt△ABC内部的弧上，如图所示：
那么CP长的最小值即转化为圆外一点到圆上所有的中的距离最短问题了。当点P运动到线段CO与圆的交点处时，PC最短。如下图示：
【拓展】
线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。也称为定弦定角问题。
即：若AB为一定线段，点C为动点，且∠ACB大小为一固定值，则A、B、C三点必共圆，或称为点C一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上。那么我们只要根据具体角度的条件去寻找这个圆即可。如下图示：
【应用】
如图，已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点，且AF=BE，连接CE、BF交于点T，若等边△ABC的边长为6，求点T运动的路径长。
【图文解析】
本题中点E或点F是主动点，由E、F的运动带动点T的运动，因AF=BE，故易证△ABF≌△BCE（SAS），因此∠1=∠2，推出∠2+∠3=∠1+∠3=60°，那么，由三角形内角180°,可以得出∠BTC=120°，并且随着点的运动，这个角度大小不变。由此找到，定弦为BC，定角为∠BTC=120°。如下图示：
那么此题中点T的路径为某一段弧，且弧所在圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，
由∠BTC=120°，这是弦CB所对的圆周角，那么圆心与点T处于BC的异侧，计算可知，弦BC所对的圆心角为120°，从而很容易找到圆心O，并且得到点T的运动路径圆心角120°的弧BC，由BC=6，可得半径为2×根号3，那么这个问题得到解决。
可通过动图观察一下：
定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值。由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆。如下图示：
那么找到动点的运动路径，最值问题就迎刃而解了。
【练习】
如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，求AD的最小值.
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