八上尖子生培优系列(35) ——期中复习压轴系列（2）
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如图，△ABC与△CDE均是顶角为40°的等腰三角形，AB、DE分别是底边.
（1）求证：AD=BE；
（2）求直线AB和DE相交构成的锐角；
（3）若将△CDE绕C点旋转，旋转如下位置时，（1）与（2）结论还成立吗？
图文解析
（1）简析：直接证△ACD≌△BCE（SAS），就可得到：AD＝BE.如下图示，
（2）首先画出直线AD和BE相交所构成的锐角，同时由（1）得∠CAD＝∠CBE，如下图示：
进一步地，由图中具有的“蝶”形，不难得到所求的∠P＝∠ACB＝400，如下图示：
∠P＝1800－（∠1+∠2+∠4）
＝1800－（∠1+∠2+∠3）
＝1800－（∠CAB+∠ABC）
＝∠ACB＝400.
（3）从旋转的角度观察（1）中的图形，相当于△ACD绕C点逆时针旋转400（＝∠ACB），类似地，本题图中将△CDE绕C点旋转任意角度时，也均可认为是△ACD绕C点逆时针旋转400（＝∠ACB），如下图示：
因此，相应地，AD＝BE，以及直线AD和BE的交角，相当于直线AD也绕C点逆时针旋转了400的角（＝∠ACB）.因此可以大胆猜想，不论△CDE怎样旋转，上述（1）和（2）的结论仍然成立.下面给出图解：
反思：
变式与拓展：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
（2）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
答案如下：
（1）∠AEB＝60°；BE=AD．
（2）提示：解法与原题类似，先证△ACD≌△BCE，得到BE=AD，∠BEC=∠ADC＝1350，
得到∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°；同时易证△CDM和△CME和△CDE均为等腰直角三角形，从而CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，因此AE=AD+DE=BE+2CM．
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