八上尖子生培优系列(36) ——期中复习压轴系列（3）
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如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【图文解析】
（1）根据已知条件和图中的图形特征（含“蝶形”），不难得到∠1＝∠2（这个结论务必熟练，太常用了），如下图示：
现直接证“DA平分∠CDE”，显然不可能，虽然有一共边，但构造两三角形全等，难度还是较大，为此联想到“角平分线定理的逆定理——到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.如下图示：
问题就转化为证明“两线段相等（AM＝AN）”，此时再找两三角形全等，就容易多了。结合已知条件和现有条件（两直角已经相等和∠1＝∠2），不难得到△ABN≌△ACM（AAS）.如下图示.（其中AB＝AC是由OB＝OC及OA⊥BC得到的）
从而得到AM＝AN，…….
详细解答过程如下：
证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．
∵B（﹣1，0），C（1，0），A在y轴上
∴OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，
又∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）不难证得△ABC是等腰三角形，同时已知条件是“DC=DA+DB”，自然想到“取长补短”法（之前这个系列已有多篇文章解析），当然也可用“旋转”法来证（但有点“超纲”之嫌，毕竟“旋转”内容是九年级内容）.下面提供两种思路（本质一样）.
法一：在CD上截取CP=BD，连接AP．如下图示，通过全等，不难得到：PA＝AD.
另一方面，由已知DC=DA+DB及CP=BD，可得AD＝PA，所以△PAD是等边三角形.
进一步地，得到：∠DAP=60°．所以∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
详细解答过程如下：
解：∠BAC的度数不变化．理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP．
∵CD=AD+BD，∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP
=∠BAP+∠BAD=60°．
法二：延长BD至P，使DP=AD，连接AP．如下图示，通过全等，不难得到：PA＝AD.
另一方面，由已知DC=DA+DB及DP=AD，可得AD＝PA，所以△PAD是等边三角形.
……（下同法一）.
变式与拓展
如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第三或第四象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC+∠BAC＝1800．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
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