七上尖子生培优系列(35) ——期中复习试题选解(3)
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2．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，G（5）=9，…
（2）G（1/2）=2，G（1/3）=4，G（1/4）=6，G（1/5）=8，G（1/6）=10，…
利用以上规律计算：G（2018）－G（1/2018）－2017=＿＿＿＿．
【分析】此题是一道新定义及找规律的试题，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，然后代入计算即可．
【解】G（2018）－G（1/2018）－2010
=（2018×2）－1－（2018－1）×2－2017
=2018×2－1－2018×2+2－2017＝－2016．
3．规定[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]=2，[－3.14]=－4，
（1）[3.1]+ [-5.6]－[-2.8]＝＿＿＿＿＿.
（2）若[x]=3，则x的取值范围是 ．
（3）若[x－5]=3，则x的取值范围是 ．
【分析】理解好[x]的定义，利用定义求解即可．
【解】（1）原式＝3+(－6)－(－3)＝3－6+3＝0.
（2）∵[x]表示不超过x的最大整数，[x]=3，
∴x≥3且x＜4，即3≤x＜4．
（3）由[x+5]=3得[x+5]= [x]+5=3，即[x]＝－2，类似（2），可得－2≤x＜－3．
4．如果a，b是任意两个不等于零的数，定义Φ运算如下（其余符号意义如常）：aΦb=2a－b，那么[（1Φ2）Φ3]－[1Φ（2Φ3）]的值是 ．
【分析】严格按照新定义的规则进行运算.
【解】原式=[（2×1－2）Φ3]－[1Φ（2×2－3）]＝[0Φ3]－[1Φ1）]＝（2×0－3）－（2×1－1）＝－3－1＝－4.
5．定义：当m⊗n=k（k为常数）时，得（m+1）⊗n=k－1，m⊗（n+1）=k+2．现在，已知1⊗1=2，求20017⊗20017的值．
【分析】理解新定义，充分利用已知的条件．
【解】由“m⊗n=k，（m+1）⊗n=k﹣1，m⊗（n+1）=k+2”可得：（m+1）⊗（n+1）=（k﹣1）+2=k+1，
类似地：（m+2）⊗（n+2）=…＝k+2，
（m+3）⊗（n+3）=…=k+3，……
（有“⊗”号前后各加1，得到的值加1），
所以（m+d）⊗（n+d）=k+d，
而已知1⊗1=2，相当于m=1，n=1，k=2，d=0,
∴20017⊗20017＝(1+2016)⊗(1+2016) ＝2+2016=2018，
即：2017⊗2017=2018．
6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0﹣9和字母A﹣F共16个计数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26=20+6，可用十六进制表示为1A；在十六进制中，E+D=1B等．又如：E+F=1D。由上可知，在十六进制中，2×F=＿＿＿＿； A×B=＿＿＿＿＿.（结果用十六进制表示）
【分析】先将各数转化为十进制，计算出2×F 和A×B的值，再根据十六进制的定义将结果表示成十六进制，在表示十六进制时，应将十进制的结果表示成“16”的幂的形式（如：213＝13×16+5，则213可表示为F5）．
【解】（1）∵A×B=10×11=110＝6×16+14，
∴用十六进制表示110为6E．
∴A×B=6E
（2）∵2×F＝2×15=30=16+14＝1 E，
∴用十六进制表示110为6E．
∴2×F=1E．
【反思】将213表示成16进制，方法如下：
先213÷16＝13……5，13对应16进制为F，所以213可表示为F5.又如，将734表示成16进制，734÷16＝45……14，45÷16＝2……13，
用后一个的商2、余数13和第一个的余数14表示16进制，分别对应的是2、D和E，所以734用16进制表示为2DE…….若有困难，可百度查找一下相关16进制的知识…….
7．对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad－bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则p+q =，p－q=．进一步，得到：P＝＿＿＿，q＝＿＿＿＿.
【分析】根据定义算出（1，2）⊕（p，q）=（p－2q，q－2p），再根据规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d），得出p－2q=5，q－2p=0，通过“两式相加和相减”，即可得到p+q和p－q的值，再次通过“两式相加和相减”进一步得到p、q的值.
【解】依题意，得：
(1，2)⊕（p，q)=(p﹣2q，q+2p)=(5，0)，
∴p﹣2q=5，q－2p=0，
将两式分别相加、相减，得：
－p－q=5，3p－3q＝5
即p+q=－5，p－q＝5/3.
将两式再次分别相加、相减，得：
p＝－5/3 q=－10/3.
8．记S1=1×1=1×1!，S2=2×2×1=2×2!；S3=3×3×2×1=3×3!，…，Sn=n•n•（n﹣1）…3×2×1=n•n!；求S=S1+S2+S3+…+S2017－2018!的值.
【分析】直接根据“Sn”定义，分别表示出S1、S2、S3、…、S2017.，再代入S进行计算.计算过程中，充分利用Sn=n•n•（n﹣1）…3×2×1=n•n!关系，进一步得到：n!+Sn＝n!+ n•n!=(n+1) n! ＝(n+1)•n•（n﹣1）…2×1=(n+1) !，即n!+ n•n!=(n+1)!，当然计算过程中，务必严格按照运算规则和顺序进行.
【解】由Sn=n•n•（n﹣1）…3×2×1=n•n!得：
n!+Sn＝n!+ n•n!=(n+1) n!
＝(n+1)•n•（n﹣1）…2×1=(n+1) !
即n!+ n•n!=(n+1) !.
所以S=1×1!+2×2!+…+2017×2017! －2018!
=1+2×2!+3×3!+…+2017×2017! －2018!
=2+2×2!+3×3!+…+2017×2017! －2018!－1
=2!+2×2!+3×3!+…+2017×2017!－2018!－1
=3!+3×3!+…+2017×2017! －2018!－1
=4!+4×4!+…+2017×2017! －2018!－1
=5!+…+2017×2017! －2018!－1
＝……＝2018!－2018!－1＝－1.
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