九上尖子生培优系列(35) ——期中复习试题选解（1）
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1．实数a，b，c满足a+b+c=2，ab+bc+ca=1，求证：0≤a≤4/3，0≤b≤4/3，0≤c≤4/3．
【分析】由“a+b+c=2”得a+b=2﹣c，代入ab+bc+ca=1，得ab＝1－(bc+ca)＝1－c(a+b) =1－c(2－c)＝c2－2c+1=(c﹣1)2，根据“根与系数的关系”可知：a、b可以看作是关于t的一元二次方程t2﹣（2﹣c）t+（c﹣1）2=0的两个实数根，再利用根的判别式△≥0，可得：3c2﹣4c≤0，解得0≤c≤4/3．同理0≤a≤4/3，0≤b≤4/3．
【解】∵a+b+c=2，则a+b=2﹣c，∵ab+bc+ca=1．
∴ab=1﹣c（a+b）=1﹣c（2﹣c）=（c﹣1）2，
∴a、b可以看作是关于t的一元二次方程t2﹣（2﹣c）t+（c﹣1）2=0的两个实数根，
∵c为实数，∴上述关于t的方程有实数根.
∴△=（2﹣c）2﹣4（c﹣1）2≥0，
即3c2﹣4c≤0，解得0≤c≤4/3．
同理0≤a≤4/3，0≤b≤4/3．
2．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，5），且与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若﹣1≤x≤3，试求y的取值范围；
（3）若M（n2﹣4n+6，y1）和N（﹣n2+n+7/4，y2）是抛物线上的不重合的两点，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式求二次函数的解析式；
（2）分别求出当x=﹣1和x=3时对应的y值，结合图象可得出y的取值范围；
（3）先求出对应的y1和y2的值，再分别根据M、N两点的横坐标的大小关系进行判断.
【解】（1）∵y=ax2+bx+c的顶点为（2，5），
∴设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+5，
把（0，1）代入得：a（0﹣2）2+5=1，a=﹣1，
∴抛物线为：y=﹣(x﹣2)2+5；
（2）当x=﹣1时，y=﹣4；当x=3时，y=4；
再结合图象，得：若﹣1≤x≤3，y的取值范围是：﹣4≤y≤5；
（3）当x=n2﹣4n+6时，
y1=﹣(n2﹣4n+6﹣2)2+5 =﹣(n﹣2)4+5，
当x=﹣n2+n+7/4时，
y2=﹣(﹣n2+n+7/4﹣2)2+5=﹣(n﹣1/2)4+5，
由(n﹣2)2+5=(n﹣1/2)2+5，解得：n=5/4，
结合如下图象，如：
由图象知：当n＞5/4时，(n﹣2)2＜(n﹣1/2)2，
即y1＞y2；当n＜5/4时，(n﹣2)2>(n﹣1/2)2，
即y1＜y2；当n=5/4时，n2﹣4n+6≠﹣n2+n+7/4，
(n﹣2)2=(n﹣1/2)2，即y1=y2．
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