八上尖子生培优系列(37) ——期中复习压轴系列（4）
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如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G. （1）求证：CE＝CF；（2）求证：CF＝GB.
分析：图中有“双垂直”的直角三角形——图形中的“老大”，结合其他相关线段有很多相关结论；已知条件中的“角平分线”更有角平分线相关辅助线和结论；同时它们之间又通过“共边”和“共垂直”进行联系，不难得到一连串与已知、结论相关的结论，当然其中线段CF与之关系更紧密，由此除直接证明外，还可以将线段CF进行转化，然后再想方设法与BG进行联系.
图文解析
（1）从常见图形（“双垂直”——直角三角形斜边上的高）不难得到下列结论：
下面先证明：∠CEF＝∠CFE.
结合“角平分线”，根据“三角形内角和定理”，不难得到：
或者 根据“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，不难得到：
当然，也可根据“角平分线”的相关定理，添加如下辅助线：
进一步，根据“等边对等角”得到：CE＝CF.
（2）直接证明CF＝GB有难度，但由（1）知：CE＝CF，可转化为证明：CE＝GB.下面提供两个方法：
法一：由于CE在△ACE中，因此可考虑构造BG为边的三角形和△ACE全等.由于EG∥AB，可利用平行这个条件将线段AE沿EG方向平移EG长，得到GH，如下图示：
法二：利用“角平分线”的对称性：在AB上截取AH＝AC，连接HE，如下图示：
法三：利用“角平分线”的性质：过F点作FH⊥AB于H，连接HE，如下图示：
△CEF≌△HFE，得到CE＝EH.且∠CFE＝∠FEH，如下图示：
（因特殊四边形的相关知识未学，不可用四边形的相关性质）
综合可得：CF＝CE＝EH＝GB.（显然此法最繁琐）
法四：（此法最易）由（1）知CE＝CF及“角平分线的性质”知CF＝CH，所以CE＝FH，同时有：
不难证得△CEG≌△FHB，得到CG＝BF，进一步地，CG－FG＝BF－FG，即CF＝GB，…….
反思 本题的中相关基本图和相关辅助线及方法都是常用的，务必认真体会。
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