九上尖子生培优系列(36) ——期中复习试题选解（2）
（点击“初中数学延伸课堂”关注)
1．已知三整数a，b，c之和为13，且b:a=c:b，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．
（——试题来源于网络）
【分析】这是一道典型的“根的判别式”应用的试题。充分利用已知条件“三整数a，b，c之和为13，且b:a=c:b”，转化为一元二次方程的相关知识应用。若设b/a=c/b＝x，则有b=ax，c=bx=ax2，再代入a+b+c=13，得到关于x的一元二次方程a+ax+ax2=13，因a≠0，所以可化为x2+x+1﹣13/a=0，因b/a=c/b＝x（a、b为整数），相当于关于x的方程x2+x+1﹣13/a=0有有理根（即根为有理数），因此可得：根的判别式△为完全平方数（a为整数），从而得到关于a相关的不等式，再进行讨论即可.
【解】设b/a=c/b＝x，则b=ax，c=ax2，代入a+b+c=13，得a+ax+ax2=13，化为a（x2+x+1）=13．∵a≠0，∴x2+x+1﹣13/a=0……①，
又因为a，b，c为整数，则方程①的根必为有理数．即△=1﹣4（1﹣13/a）=52/a﹣3≥0，
解得1≤a≤52/3，且根号△为有理数．
所以1≤a≤16.
当a=1时，方程①化为x2+x﹣12=0．
解得x1=﹣4，x2=3，
故amin=1，b=﹣4，c=16；amin=1，b=3，c=9．
当a=16时，方程①化为x2+x+3/16=0．
解得x1=－3/4，x2=－1/4．
因此amax=16，b=﹣12，c=9
或amax=16，b=﹣4，c=1．
2．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）s≠0）．
（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO三条高的和；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2时，求a的取值范围．
（——试题来源于网络）
【图文解析】
（1）由题意可知:抛物线的顶点A（2，1），因此可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，由于抛物线过原点，所以将（0，0）代入即可求出a的值．即将（0，0）代入y=a（x﹣2）2+1，
解得a=﹣1/4，得抛物线的解析式为：
y=﹣1/4（x﹣2）2+1.
（2）根据A（2，1）可求出OA的直线解析式，由于DB∥OA，所以一次项系数必定相等，从而可求出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可求出D的坐标，然后根据勾股定理分别求出OD、BD的长度，再利用△BOD的面积即可求出△BDO的三条高的和.
当y=0时，y＝﹣1/4（x﹣2）2+1＝0，解得x=4或x=0，所以B（4，0）.
由A（2，1）可求直线OA的解析式为y=0.5x
因BD∥OA，所以可设直线BD的解析式为：y=0.5x+m，将B（4，0）代入y=0.5x+m，求得m=﹣2，得到直线BD的解析式为：y=0.5x﹣2
联立直线y=0.5x﹣2与抛物线的解析式y＝﹣1/4（x﹣2）2+1，可求得交点D（﹣2，﹣3）.由已知B（4，0）、O（0，0）和D（﹣2，﹣3），依据勾股定理可知：OD=根号13，BD=3×根号5，OB＝4，若设OB、OD、BD边上的高分别为h1，h2，h3，则S△BOD＝0.5OB×h1（＝yD）=…＝6＝0.5BD×h3=0.5OD×h2，解得：
（3）（认真观察动画演示）
由于“抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）”．
由于“A（s，t）点在抛物线y=x2﹣x上”，因此可得到：t=s2﹣s；
由于A（s，t）（s≠0）点是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，所以有：y=a（x﹣s）2+t；
同时抛物线经过原点，所以又有：0=as2+t；
将t=s2﹣s代入，得0=as2+s2﹣s，即s=(a+1)s2.
又因s≠0，所以1=(a+1)s，因此a=1/s－1，其中﹣1≤s＜2，而当s=－1时，a=－2，当s=2时，a=－1/2，所以当﹣1≤s＜2时，a≤﹣2或a＞＝1/2.（学了九下反比例函数就更好理解了）
综上所述，a≤﹣2或a＞﹣1/2.
【反思】
“已知s的取值范围，求a的取值范围”解题的本质是：想方设法找出“s与a所存在的函数关系”. 由于s、t分别是顶点的横纵坐标，可通过配方（或顶点公式）可得s=－b/2a，t=－b2/4a，消去b，可得到：t=－as2……①，同时由于A（s，t）在抛物线y=x2﹣x上，所以有t=s2﹣s……②，由①、②得：－as2=s2﹣s，由于s≠0，所以a、s满足：a=1/s－1，……（下同）.
扫描下面二维码，关注或分享本公众号：zzdyunke(初中数学延伸课堂). 添加关注后，进入公众号，输入数字“1”可进入《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）.本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），530471110（魔方数学答疑群）.
如果您想学习几何画板，请细读文章末尾的说明.
(点赞和分享是一种美德，也是对作者的坚持给予鼓励！赞赏是一种认可，也是对作者的艰苦劳动给予肯定！可惜系统最低只能设置1元，无法设置1元以下甚至0.01元！但点赞和分享只需”举指之劳“！）