九上尖子生培优系列(38) ——期中复习试题选解(4)
如图,点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(3,3)在抛物线y=ax2+bx+c上,点D在y轴上,且DC⊥BC,∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)CF能否经过抛物线的顶点?若能,求出此时点E的坐标;若不能,说明理由;
(3)若△FDC是等腰三角形,求点F的坐标.
——试题来源于网络
法三:由抛物线经过A(﹣2,0)、B(4,0)点,可得抛物线的对称轴为直线x=1,所以可设抛物线抛物线的解析式为y=a(x-1)2+k,再将A(或B)和C点坐标代入,得:
(2)(方法多种,仅提供一种常用的思路)
若设E(m,0),则可由C(3,3)点的坐标特殊性,通过全等不难得到F点坐标为(0,6-m),如下图示:
若CF能经过抛物线的顶点,则F点必是过抛物线顶点N和C点的直线与y轴的交点;反之只需求出直线CN的解析式,将F点的坐标代入(必成立),即可得到m的值,进而得到E点的坐标.。
由C(3,3)和顶点N(1,27/5)可求得直线CN为y=-1.2x+6.6,将F(0,6-m)代入,得6-m=6.6,得到m=-0.6. 所以E(-0.6,0).
(3)(本小题的解法也有多种,仅提供一种常用的思路)先求出D点坐标,类似求F点坐标,如下图示:
得到:D(0,2),又由(2)知:F(0,6-m),DF2=|6-m-2|2=(4-m)2,而在Rt△FCG中,由勾股定理,得:CF2=FG2+CG2=|6-m-3|2+32=(3-m)2+9,同样在Rt△CDG中,CD2=…=12+32=10.
当△FDC为等腰三角形时,有下列三种可能:
(当CF=DF时,也可以通过CD的垂直平分线求出F点坐标类似,但也不简单).
【反思】注意第(3)小题中的分类思想,同时当遇到计算较繁时,不防用平方的形式计算更快。另外在还没学“相似 49 30261 49 14985 0 0 3182 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 3182三角函数”时,几何中的相关计算唯有一种方法就是“勾股定理”.
说明:下一期将按章节顺序整理《圆》的相关试题和解析.
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