八上尖子生培优系列（39） ——整式的乘法（2）

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整式的乘法（2）

【例题】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；

（3）小明同学用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）长方形，那么x+y+z=______．

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【解析】（1）在图2中，S_正＝(a+b+c)²，又S_正＝各个矩形的面积之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，

所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．

（2）将a+b+c=11，ab+bc+ac=38直接代入（1）中得到的关系式，得：11²=a²+b²+c²+2×38，移项，得：a²+b²+c²＝…＝45.

（3）显然拼成的长方形的面积为xa²+yb²+zab=（25a+7b）（18a+45b）.

       根据多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（18a+45b）的结果为450a²+1251ab+315b²，

       即：xa²+yb²+zab=450a²+1251ab+315b²，

       从而得到x=450，y=315，z=1251，

       所以x+y+z=450+315+1251=2016．

【反思】整式的乘法法则运用，充分利用面积法列出等式．

【练习】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要A、B、C类卡片各多少张？

（答案下期找）

培优系列（39）练习答案

【原题呈现】

1．若3^2x+1=243，求(1－x)^x的值.

2．已知a^x=5，a^x+2y=180，求a^x+a^y的值．

3．已知x^m=2，xⁿ=3，求(x³)^m·(x²) ⁿ的值．

4．已知a^m=2，bⁿ=3，求a^2m+3n的值．

5．若3x+2y－6=0，求8^x·4^y的值.

6.比较2³⁰⁰，3²⁰⁰，4¹⁰⁰的大小.

答案：（过程略）

       1.1          2.11      3.72

       4.108      5.64   

       6. 4¹⁰⁰ ＜2³⁰⁰ ＜3²⁰⁰.

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