九上尖子生培优系列(40) ——《圆的有关性质》例析（2）

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《圆的有关性质》例析（2）

【例题】如图，AB是⊙O直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=6cm，求A、B两点到直线CD的距离的和.

【解析】A、B两点到直线CD的距离的和是AE+BF，虽然AE和BF同在直角梯形AEFB中，但梯形的中位线定理现不做要求（人教版）不能用，因此应另选他法，将AE+BF进行转化成与另一条线段间的关系；同时CD是弦，AB是直径，均为已知条件，因此也不难想到垂径定理。因AB是直径，想到90⁰（直角），而且AE与BF均与CD垂直（有直角），所以又可得到矩形，综合上述，如下图示：

下面有代数方法找出AE+BF与线段OH的关系.若设AE＝a，OH=b，则有：

可得到：AE+BF＝…＝2a+2b，而OH＝a+b，因此AE+BF＝2OH，因此所求的长就转化为求OH的长。显然可以通过垂径定理得到，如下图示：

       不难得到：OH＝…＝4，因此AE+BF＝8.

另：“AE+BF＝2OH”也可用下面方法证，更易：

【反思】注意体会如何利用“天然条件——OA＝OB”得到中位线或全等，同时再次体会“代数”法在几何证明中的巧妙运用．

【拓展与变式】如图，AB是⊙O直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=6cm，求B、A两点到直线CD的距离的差.

（答案下期找）

培优系列（39）练习答案

【原题呈现】如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=30°，求AB的长.

       解法提示：如下图示（类似于例题的解法），

       回到△ABD中，过D点作DM⊥AB（等腰三角形常用辅助线），如下图示：

       进一步地，不难得到：AB＝2BM＝2×根号3×DM＝根号3×BD＝14/3×根号3.

（尽管只是将原题中的60⁰改为30⁰，但解法比原例题难度加大，若改为45⁰，请画出图形，并求出AB的长——（不做分析，较易））.

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