第

2

讲

考

全等三角形热门题型1

配合《全等三角形》教学进度

（注：适合于人教版八年级）

热门题型1：当条件中含有45度时，必存在基本图形等腰直角三角形，再遇双垂直，则又有一组全等三角形，则可利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等．

典例赏析

题目．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是___________

【分析】两个基本图形的识别，所以BF=AC=5. 

基本图形①等腰Rt△ABD

基本图形②△BDF≌△ADC

注：旋转的观点（△BDF绕点D顺时针旋转90度，得到△ADC）

变式题组

1．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为_______

【分析】两个基本图形的识别，由△BDF≌△ADC，得AD=BD=BC-CD=5,DF=CD=2，则AF=AD-DF=3.

2.如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.

⑴求证：BE⊥AC；

⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

【分析】△BDF≌△ADC，全等三角形的性质进一步运用。

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．

【分析】结论（BF⊥AE）及解法同题2，图形的位置变化，背景条件的重置，往往使题目产生新面貌。

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，BD平∠ABC，AF⊥BD，求证：BD＝2AF.

【分析】条件的强化：BD为角平分线，则生成结论更为丰富。

思路1：（基本图形的补全）

延长AF交BC的延长线于E，从而构造△BDC≌△AEC，结论运用，再证得AE=2AF,易证。

思路2：（全等图形的构造）

在BD上截取BN=AF，从而构造△BNC≌△AFC,再证得N是BD的中点,得证。

注：以上两种解法，也均可用旋转的思路。

5.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DF=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；证△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．

【点评】本题思路较多，主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

达标检测

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.

2．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.

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