第

3

讲

考

全等三角形热门题型2

配合《全等三角形》教学进度

（注：适合于人教版八年级）

热门题型2：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．

典例赏析

题目：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，BQ是∠ABC的角平分线．求证：BQ=CQ   

【分析】由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°，再由角平分线就可以得出∠QBC=40°，就有∠QBC=∠C而得出结论。

变式题组

题1（条件叠加）：

在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP.

【分析】延长AB至M，使得BM=BP，连结MP，根据条件就可以得出∠M=∠C，进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论．

（注：这题的解法很多，具体思路详见公众号【模型思想】“角平分线”对称变换模型）

题2.（一般性探究）

在△ABC中，∠ACB=α，AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．

当∠BAC=           时，仍有BQ+AQ=AB+BP结论成立．

【分析】根据题（1）的证明可知，只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立，故答案为：180°﹣3α．

题3（深层探究）：

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D点，求的值．

【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过C作CH⊥AB于H，解直角三角形求出DM、DN、CH值，根据三角形面积公式求出即可．

故答案为：=．

【点评】本题考查了解直角三角形，三角形面积的应用，主要考查学生的推理能力，关键是得出等式AB•AD+AC•AD=AB•AC．

达标检测

1.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

2.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.

3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为   .

4.如图，点P是△ABC外一点，AP平分∠BAC，PD垂直平分线段BC，交BC于点D，PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）直接填空：垂线段PE与PF的数量关系是   ；

（2）求证：BE=CF；

（3）若AB=a，AC=b（a＞b），试用含a、b的代数式表示AE•CF．

（注：请认真对照以上四个图形，发现图形演变的过程，并归纳我们在处理角的平分线的问题时，常用的解题思路！）

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