第

6

讲

考

动态几何问题

——全等之不变量

配合《全等三角形》教学进度

（注：适合于人教版八年级上册）

        几何动态问题，动点是本质。由动点产生的动线、动面的过程中，探寻其隐含的不变量，是解决这类问题的关键，本讲从一道典例出发，拓展延伸，分析由全等之不变量。

题目：已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，试探究点E的运动路径.

【分析】根据等边三角形的性质，易得△ABD≌△ACE，且为不变量，即点D在运动过程中，结论均成立；则有∠BACE=∠ABD=60°，进而就可以得出点E的运动路径为CE（CE∥AB且CE=AB）

思考1：点D为直线BC上一动点，那么点E的运动路径呢？

【分析】同理可得点E的运动路径为过点C平行AB的直线.

拓展1：分别取BD、CE的中点M、N，连接AM、AN、MN，试判断△AMN的形状.

【分析】△AMN是等边三角形，由不变量△ABD≌△ACE可以证明△ABM≌△ACN，然后利用它们的对应边相等，对应角相等就可以证明结论．

典例赏析

例1.已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

初步感知：（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

问题探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；

类比分析：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

【分析】虽然背景从等边三角形延伸为菱形，但问题的实质并没有发生变化，全等之不变量仍存在，证明三角形全等是解决问题的关键．

（1）①由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；②由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；

（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；

（3）补全图形后由图形，由全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

例2.已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD=AE，∠DAE=90°A、D、E按逆时针排列），连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时，

①请写出BD和CE之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；

②AC=CE+CD的关系是否成立，并说明理由；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若不成立，请直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．

【分析】虽然背景从等边三角形延伸为等腰直角三角形，但问题的实质并没有发生变化，全等之不变量仍存在，证明三角形全等是解决问题的关键．

（1）①根据AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，证△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；

②由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，即可得出结论；

（2）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可．

问题发现：如图1，在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，证明：BM=CN．

变式探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，点M为边BC上任意一点，以AM为腰作等腰三角形AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，连接CN，请求出的值．（用含α的式子表示出来）

解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作正方形作AMEF，N为正方形AMEF的中心，连接CN，若正方形AMEF的边长为，CN=，请你求正方形ADBC的边长．

【注】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是相似三角形的判定，在（3）中注意方程思想在勾股定理中应用．

若感兴趣的同学，可以提前自学相关的章节

答案：（1）略，（2）2sin，（3）边长为3.

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