第
7
讲
考
三角形的翻折
——全等变换
配合《全等三角形》教学进度
（注：适合于人教版八年级上册）
折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
例1.如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【分析】由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．故选B．
变式1：如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为_______ ．
【分析】由点D为BC边的中点，得到BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得到DF=BD，根据等腰三角形的性质得到∠BFD=∠B，由三角形的内角和和平角的定义得到∠A=∠AFE，于是得到结论∠A=65度．
变式2：如图，在△ABC中，AC=BC=4cm，AB=6cm，D、E分别是BC、AC上的点，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且C′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_____cm．
【分析】由题意得CD=C'D，CE=C'E，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．阴影部分图形的周长为14cm．
变式3.如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．
（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；
（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE=60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF=60°，进而得出∠BDF=60°即可得出答案；
（2）利用平行线的性质结合（1）中所求得出∠2，∠5+∠6的度数即可得出答案．
例2.如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选：D．
变式1：若如是剪，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】先求出∠O=60°，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解．沿折痕AB展开得到等边三角形，即正三角形．故选：A．
变式2：如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】严格按照图中的顺序向下对折，向右对折，向右下角对折，从右下角剪去一个三角形，展开得到结论．故选C．
变式3.用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【分析】动手操作一下，不难得出∠OCD=180°÷2=90°，故选B．
例3.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【分析】连接BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB=EH，
∴∠EBH=∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH=EB=EA，
∴EH=AB，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
则与∠BEG相等的角有3个．
故选：B
变式1：如图，已知一张纸片▱ABCD，∠B＞90°，点E是AB的中点，点G是BC上的一个动点，沿EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点F处，连接AF，则下列各角中与∠BEG不一定相等的是（ ）．
A．∠FEG B．∠AEF C．∠EAF D．∠EFA
【分析】由折叠的性质可知：∠BEG=∠FEG，BE=EF，又点E是AB的中点，故有AE=BE=EF，∠AFE=∠EAF，又2∠BEG=∠AFE+∠EAF，可得：∠BEG=∠EAF=∠EFA，故选B．
A．70° B．65° C．50° D．25°
2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.
3.现有一张长方形纸片ABCD（如图），其中AB=4，BC=6，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，使点B落在四边形AECD内，记为点B′
（1）请用尺规在图中作出△AEB′（不必写出作法，但要求保留作图痕迹）；
（2）判断△BB′C是什么三角形？并说明理由；
4.（1）动手操作：
如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为125°．
（2）观察发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
折纸三等分角 三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一（三等分任意角、化圆为方、倍立方），即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一任意角三等分，这问题曾吸引着许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814～1848）运用代数方法证明了，仅用尺规不可能三等分角． 如果作图工具没有限制，将条件放宽，将任意角三等分是可以解决的．下面介绍一种折纸三等分任意锐角的方法： （1）在正方形纸片上折出任意∠SBC，将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，得到图（1）； （2）翻折左下角使点B与EF上的点T重合，点M与SB上的点P重合，点E对折后的对应点记为Q，折痕为记为GH，得到图（2）； （3）折出射线BQ，BT，得到图（3），则射线BQ，BT就是∠SBC的三等分线． 下面是证明BQ，BT是∠SBC三等分线的过程： 证明：过T作TK⊥BC，垂足为K，则四边形EBKT为矩形 根据折叠，得EB=QT，∠EBT=∠QTB，BT=TB ∴△EBT≌△QTB， ∴∠BQT=∠TEB=90°， ∴BQ⊥PT ∵ME=PQ，EB=QT，ME=EB， ∴PQ=QT， ∴BP=BT， ∴∠PBQ=∠TBQ， ∵TK=BE， ∴TK=TQ， ∴∠QBT=∠TBC， ∴射线BQ，BT是∠SBC的三等分线； |
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